20 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

CHUYÊN ĐỀ 3: LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC

A. MỤC TIÊU:

HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)ⁿ

Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức  thành nhân tử

B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

I. Nhị thức Niutơn:Trong đó: $ text{C}_{text{ n}}^{text{ k}}=frac{text{n(n – 1)(n – 2)}…text{ }!![!!text{ n – (k – 1) }!!]!!text{ }}{text{1}text{.2}text{.3}…text{k}}$

II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:

Cách 1: Dùng công thức $ text{C}_{text{ n}}^{text{ k}}=frac{text{n(n – 1)(n – 2)}…text{ }!![!!text{ n – (k – 1) }!!]!!text{ }}{text{k !}}$

Chẳng hạn hệ số của hạng tử  a⁴b³ trong khai triển của (a + b)⁷ là

$ text{C }_{text{7}}^{4}=frac{7.6.5.4}{4!}=frac{7.6.5.4}{4.3.2.1}=35$

Chú ý:  a) $ text{C }_{text{n}}^{text{k }}=frac{text{n !}}{text{n}!(text{n – k) !}}$ với quy ước  0! = 1

⇒ $ text{C }_{text{7}}^{4}=frac{7!}{4!.3!}=frac{7.6.5.4.3.2.1}{4.3.2.1.3.2.1}=35$

b) Ta có: $ text{C }_{text{n}}^{text{k }}=text{C }_{text{n}}^{text{k – 1 }}$ nên $ text{C }_{text{7}}^{4}=text{C }_{text{7}}^{3}=frac{7.6.5.}{3!}=35$

Cách 2: Dùng tam giác Pascal

Đỉnh							1
Dòng 1(n = 1)						1		1
Dòng 2(n = 1)					1		2		1
Dòng 3(n = 3)				1		3		3		1
Dòng 4(n = 4)			1		4		6		4		1
Dòng 5(n = 5)		1		5		10		10		5		1
Dòng 6(n = 6)	1		6		15		20		15		6		1

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k

(k 1), chẳng hạn  ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2

dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …

Với n = 4 thì:   (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Với n = 5 thì:   (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n = 6 thì:  (a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a² b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

Cách 3:

Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:

a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1

b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k

Chẳng hạn: (a + b)⁴  = a⁴ + $ frac{1.4}{1}$a³b + $ frac{4.3}{2}$a²b² +  $ frac{4.3.2}{2.3}$ab³ +  $ frac{4.3.2.}{2.3.4}$b⁵

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa

là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau

(a + b)ⁿ = aⁿ + na^{n -1}b + $ frac{text{n(n – 1)}}{text{1}text{.2}}$a^{n – 2}b² + …+ $ frac{text{n(n – 1)}}{text{1}text{.2}}$a²b^{n  – 2} + na^{n – 1}b^{n – 1} + bⁿ

III. Ví dụ:

Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) A = (x + y)⁵ – x⁵ – y⁵

Cách 1: khai triển (x + y)⁵ rồi rút gọn A

A  =  (x + y)⁵ – x⁵  – y⁵  = ( x⁵ + 5x⁴y + 10x³y²  + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵) – x⁵  – y⁵

=  5x⁴y + 10x³y²  + 10x²y³ + 5xy⁴ = 5xy(x³ + 2x²y + 2xy² + y³)

=  5xy [(x + y)(x² – xy + y²) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x² + xy + y²)

Cách 2: A = (x + y)⁵ – (x⁵  + y⁵)

x⁵  + y⁵ chia hết cho x  + y nên chia x⁵  + y⁵ cho x + y ta có:

x⁵  + y⁵ = (x + y)(x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại

b) B = (x + y)⁷ – x⁷ – y⁷ = (x⁷+7x⁶y +21x⁵y² + 35x⁴y³ +35x³y⁴ +21x²y⁵ 7xy⁶ + y⁷) – x⁷ – y⁷

= 7x⁶y + 21x⁵y² + 35x⁴y³ + 35x³y⁴ + 21x²y⁵ + 7xy⁶

=  7xy[(x⁵ + y⁵ ) + 3(x⁴y  + xy⁴) + 5(x³y² + x²y³ )]

= 7xy {[(x + y)(x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴) ] + 3xy(x + y)(x² – xy + y²) + 5x²y²(x + y)}

= 7xy(x + y)[x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ + 3xy(x² + xy + y²) + 5x²y² ]

= 7xy(x + y)[x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ + 3x³y – 3x²y² + 3xy³ + 5x²y² ]

= 7xy(x + y)[(x⁴ + 2x²y² + y⁴) + 2xy (x² + y²) + x²y² ] =  7xy(x + y)(x² + xy + y² )²

Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển

(4x – 3)⁴

Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:

(4x – 3)⁴ = 4.(4x)³.3 + 6.(4x)².3² – 4. 4x. 3³ + 3⁴ = 256x⁴ – 768x³ + 864x² – 432x + 81

Tổng các hệ số: 256 – 768  + 864 – 432 + 81 = 1

Cách 2: Xét đẳng thức (4x – 3)⁴ = c₀x⁴ + c₁x³ + c₂x² + c₃x + c₄

Tổng các hệ số:  c₀ + c₁ + c₂ + c₃ + c₄

Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 – 3)⁴ =  c₀ + c₁ + c₂ + c₃ + c₄

Vậy: c₀ + c₁ + c₂ + c₃ + c₄ = 1

* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa thức đó tại x = 1

C. BÀI TẬP:

Bài 1: Phân tích thành nhân tử

a) (a + b)³ – a³ – b³

b) (x + y)⁴ + x⁴ + y⁴

Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức

a) (5x – 2)⁵

b) (x² + x – 2)²⁰¹⁰ + (x² – x + 1)²⁰¹¹