Lý thuyết về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
1. Khái niệm bất phương trình một ẩn
Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f(x) > g(x), f(x) < g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x), trong đó f(x), g(x) là các biểu thức chứa cùng một biến x.
Tập xác định của bất phương trình (TXĐ) là điều kiện của biến số x để các biểu thức f(x), g(x) có nghĩa.
Giá trị $displaystyle {{x}_{0}}$ thỏa mãn TXĐ làm cho $displaystyle f({{x}_{0}})<g({{x}_{0}})$ là một mệnh đề đúng thì $displaystyle {{x}_{0}}$ là một nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x).
2. Hệ bất phương trình một ẩn
Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn:
ki hiệu là $displaystyle left{ begin{array}{l}{{f}_{1}}(x)<{{g}_{1}}(x){{f}_{2}}(x)<{{g}_{2}}(x)…{{f}_{n}}(x)<{{g}_{n}}(x)end{array} right.$
Giải hệ bất phương trình 1 ẩn bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của các bất phương trình thuộc hệ.
3. Bất phương trình tương đương
Hai bất phương $displaystyle {{f}_{1}}(x)<{{g}_{1}}(x)$ và $displaystyle {{f}_{2}}(x)<{{g}_{2}}(x)$ được gọi là tương đương, kí hiệu:
$displaystyle {{f}_{1}}(x)<{{g}_{1}}(x)$ <=> $displaystyle {{f}_{2}}(x)<{{g}_{2}}(x)$ nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.
– Định lí: Gọi D là TXĐ của bất phương trình f(x) < g(x), h(x) là biểu thức xác định ∀ x ∈ D thì:
a) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) <=> f(x) < g(x).
Hệ quả f(x) < g(x) + p(x) <=> f(x) – g(x) < p(x)
b) f(x).h(x) < g(x).h(x) <=> f(x) < g(x) nếu h(x) > 0 ∀ x ∈ D
f(x).h(x) < g(x).h(x) <=> f(x) > g(x) nếu h(x) < 0 ∀ x ∈ D.