Đại số 9 - Chuyên đề 2 - Nhân, chia căn thức bậc hai

LÝ THUYẾT

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:

Khai phương một tích

$displaystyle sqrt{{A.B}}=sqrt{A}.sqrt{B}$

Nhân các căn thức bậc hai

2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:

Khai phương một thương

$displaystyle sqrt{{frac{A}{B}}}=frac{{sqrt{A}}}{{sqrt{B}}}$

Chia hai căn thức bậc hai

II . Bổ sung

1. Với A₁, A₂, …, A_n ≥ 0 thì:

$displaystyle sqrt{{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}=sqrt{{{{A}_{1}}}}.sqrt{{{{A}_{2}}}}…sqrt{{{{A}_{n}}}}$

2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $displaystyle sqrt{{a+b}}le sqrt{a}+sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0)

3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $displaystyle sqrt{{a-b}}ge sqrt{a}-sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0)

4. Công thức “căn phức tạp”

$displaystyle sqrt{{Apm B}}=sqrt{{frac{{A+sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}pm sqrt{{frac{{A-sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$

Trong đó A > 0; B > 0 và A² > B.

5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)

Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $displaystyle frac{{a+b}}{2}ge sqrt{{ab}}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b).

Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:

· Dạng có chứa dấu căn:

$displaystyle a+bge 2sqrt{{ab}}$ với a ≥ 0; b ≥ 0;

$displaystyle frac{1}{{sqrt{{ab}}}}ge frac{2}{{a+b}}$ với a > 0; b > 0.

· Dạng không có chứa dấu căn:

$displaystyle frac{{{{{(a+b)}}^{2}}}}{2}ge ab$ ; $displaystyle {{(a+b)}^{2}}ge 4ab$ ; $displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab$ ;

6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)

· Mỗi bộ có hai số (a₁ ; a₂) và (b₁ ; b₂)

$displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có ba số (a₁ ; a₂ ; a₃) và (b₁ ; b₂ ; b₃)

$displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$ ;

· Mỗi bộ có n số (a₁ ; a₂ ; …; a_n) và (b₁ ; b₂ ; …; b_n)

$displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$ ;

(dấu “=” xảy ra Û $displaystyle frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=…=frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

Bài tập 1: Tính:

a) A = $displaystyle sqrt{{3+sqrt{{5+2sqrt{3}}}}}.sqrt{{3-sqrt{{5+2sqrt{3}}}}}$ ;

b) B = $displaystyle sqrt{{4+sqrt{8}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{2}}}}}.sqrt{{2-sqrt{{2+sqrt{2}}}}}$ .

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $displaystyle (sqrt{{12}}+3sqrt{{15}}-4sqrt{{135}}).sqrt{3}$ ;	b) $displaystyle sqrt{{252}}-sqrt{{700}}+sqrt{{1008}}-sqrt{{448}}$ ;
c) $displaystyle 2sqrt{{40sqrt{{12}}}}-2sqrt{{sqrt{{75}}}}-3sqrt{{5sqrt{{48}}}}$ .

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a) $displaystyle (sqrt{{12}}+sqrt{{75}}+sqrt{{27}}):sqrt{{15}}$ ;	c) $displaystyle left( {frac{{sqrt{1}}}{{sqrt{7}}}-sqrt{{frac{{16}}{7}}}+sqrt{{frac{9}{7}}}} right):sqrt{7}$ .
b) $displaystyle (12sqrt{{50}}-8sqrt{{200}}+7sqrt{{450}}):sqrt{{10}}$ ;

Bài tập 4: Cho a = $displaystyle sqrt{{frac{3}{5}}}+sqrt{{frac{5}{3}}}$ . Tính giá trị của biểu thức: M = $displaystyle sqrt{{15{{a}^{2}}-8asqrt{{15}}+16}}$ .

Bài tập 5: Tính:

$displaystyle frac{{sqrt{{99999}}}}{{sqrt{{11111}}}}$ ;

$displaystyle frac{{sqrt{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}}}{{sqrt{{47}}}}$ ;

$displaystyle sqrt{{frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}$ ;

$displaystyle sqrt{{frac{{0,2,,.,,1,21,,.,,0,3}}{{7,5,,.,,3,2,,.,,0,64}}}}$ .

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $displaystyle sqrt{{{{{27}}^{2}}-{{{23}}^{2}}}}$ ;	b) $displaystyle sqrt{{{{{37}}^{2}}-{{{35}}^{2}}}}$ ;
c) $displaystyle sqrt{{{{{65}}^{2}}-{{{63}}^{2}}}}$ ;	d) $displaystyle sqrt{{{{{117}}^{2}}-{{{108}}^{2}}}}$ .

Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $displaystyle sqrt{{19}}$ và có hiệu bằng $displaystyle sqrt{7}$ . Tính tích của hai số đó.

Bài tập 8: Tính $displaystyle sqrt{A}$ biết:

a) A = $displaystyle 13-2sqrt{{42}}$ ;	b) A = $displaystyle 46+6sqrt{5}$ ;
c) A = $displaystyle 12-3sqrt{{15}}$ .

Bài tập 9: Tính:

a) $displaystyle sqrt{{3+sqrt{5}}}-sqrt{{3-sqrt{5}}}-sqrt{2}$ ;	b) $displaystyle sqrt{{4-sqrt{7}}}-sqrt{{4+sqrt{7}}}+sqrt{7}$ ;
c) $displaystyle sqrt{{6,5+sqrt{{12}}}}+sqrt{{6,5-sqrt{{12}}}}+2sqrt{6}$ .

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) $displaystyle (4+sqrt{{15}})(sqrt{{10}}-sqrt{6})sqrt{{4-sqrt{{15}}}}$ ;	c) $displaystyle frac{{sqrt{{sqrt{5}+2}}+sqrt{{sqrt{5}-2}}}}{{sqrt{{sqrt{5}+1}}}}-sqrt{{3-2sqrt{2}}}$ .
b) $displaystyle sqrt{{3-sqrt{5}}}(sqrt{{10}}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$ ;

Bài tập 11: Biết x = $displaystyle (sqrt{{10}}-sqrt{6}).sqrt{{4+sqrt{{15}}}}$ .

Tính giá trị của biểu thức: M = $displaystyle frac{{sqrt{{4x+4+frac{1}{x}}}}}{{sqrt{x}left| {2{{x}^{2}}-x-1} right|}}$

Bài tập 12: Tính:

a) Q = $displaystyle (3-sqrt{5})sqrt{{3+sqrt{5}}}+(3+sqrt{5})sqrt{{3-sqrt{5}}}$ ;

b) R = $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}}}.sqrt{{2-sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}}}$ .

Bài tập 13: So sánh:

a) $displaystyle 3+sqrt{5}$ và $displaystyle 2sqrt{2}+sqrt{6}$ ;	b) $displaystyle 2sqrt{3}+4$ và $displaystyle 3sqrt{2}+sqrt{{10}}$ ;
c) 18 và $displaystyle sqrt{{15}}.sqrt{{17}}$ .

Bài tập 14^*:

a) Nêu một cách tính nhẩm 997²;

b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $displaystyle sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $displaystyle sqrt{{4+sqrt{7}}}-sqrt{{4-sqrt{7}}}$ .

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

a) $displaystyle sqrt{{11-2sqrt{{10}}}}$ ;	b) $displaystyle sqrt{{9-2sqrt{{14}}}}$ ;
c) $displaystyle sqrt{{4+2sqrt{3}}}-sqrt{{4-2sqrt{3}}}$ ;	d) $displaystyle sqrt{{9-4sqrt{5}}}-sqrt{{9+4sqrt{5}}}$ ;
e) $displaystyle sqrt{{4-sqrt{7}}}-sqrt{{4+sqrt{7}}}$ ;	f) $displaystyle frac{{sqrt{3}+sqrt{{11+6sqrt{2}}}-sqrt{{5+2sqrt{6}}}}}{{sqrt{2}+sqrt{{6+2sqrt{5}}}-sqrt{{7+2sqrt{{10}}}}}}$ ;
g) $displaystyle sqrt{{5sqrt{3}+5sqrt{{48-10sqrt{{7+4sqrt{3}}}}}}}$ ;
h) $displaystyle sqrt{{4+sqrt{{10+2sqrt{5}}}}}+sqrt{{4-sqrt{{10+2sqrt{5}}}}}$ ;	i) $displaystyle sqrt{{94-42sqrt{5}}}-sqrt{{94+42sqrt{5}}}$ .

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle frac{{sqrt{6}+sqrt{{14}}}}{{2sqrt{3}+sqrt{{28}}}}$ ;	b) B = $displaystyle frac{{9sqrt{5}+3sqrt{{27}}}}{{sqrt{5}+sqrt{3}}}$ ;
c) C = $displaystyle frac{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{6}+sqrt{8}+4}}{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4}}}$ ;	d) D = $displaystyle frac{{3sqrt{8}-2sqrt{{12}}+sqrt{{20}}}}{{3sqrt{{18}}-2sqrt{{27}}+sqrt{{45}}}}$ .

Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $displaystyle frac{{sqrt{{sqrt{7}-sqrt{3}}}-sqrt{{sqrt{7}+sqrt{3}}}}}{{sqrt{{sqrt{7}-2}}}}$ .

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle sqrt{{6+2sqrt{2}.sqrt{{3-sqrt{{4+2sqrt{3}}}}}}}$ ;	b) B = $displaystyle sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-12sqrt{5}}}}}$ ;
c) C = $displaystyle sqrt{{3-sqrt{5}}}.(sqrt{{10}}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$ .

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}-sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}$ .

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $displaystyle sqrt{{x+2sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}$ .

Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $displaystyle sqrt{{x+2sqrt{{2x-4}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{2x-4}}}}$ .

Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A = $displaystyle sqrt{{frac{{{{{(x-6)}}^{4}}}}{{{{{(5-x)}}^{2}}}}}}-frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$ (x < 5), tại x = 4;

b) B = $displaystyle 5x-sqrt{{125}}+frac{{sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}}}{{sqrt{{x+5}}}}$ (x ≥ 0), tại x = $displaystyle sqrt{5}$ .

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) A =

$displaystyle frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.sqrt{{frac{{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}}{4}}}$ ;

b) B =

$displaystyle frac{1}{{2a-1}}.sqrt{{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}}$ .

Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $displaystyle sqrt{{a+1}}+sqrt{{a+3}}$ với $displaystyle 2sqrt{{a+2}}$ .

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

M = $displaystyle frac{{sqrt{{1+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}left[ {sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}} right]}}{{2+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$ .

Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $displaystyle sqrt{{frac{{{{{({{x}^{2}}-3)}}^{2}}+12{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}$ .

a) Rút gọn A;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $displaystyle frac{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}-frac{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;

b) Rút gọn biểu thức A;

c) Tìm giá trị của x để A < 2.

Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:

a) $displaystyle 2+sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;

b) $displaystyle 6-4sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.

Bài tập 30^*:

a) Rút gọn biểu thức A = $displaystyle sqrt{{1+frac{1}{{{{a}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}$ với a > 0;

b) Tính giá trị của tổng:

B = $displaystyle sqrt{{1+frac{1}{{{{1}^{2}}}}+frac{1}{{{{2}^{2}}}}}}+sqrt{{1+frac{1}{{{{2}^{2}}}}+frac{1}{{{{3}^{2}}}}}}+sqrt{{1+frac{1}{{{{3}^{2}}}}+frac{1}{{{{4}^{2}}}}}}+…+sqrt{{1+frac{1}{{{{{99}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}}}$ .

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

$displaystyle sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$ ;

$displaystyle frac{{sqrt{{2x-3}}}}{{sqrt{{x-1}}}}=2$ .

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) $displaystyle 1+sqrt{{3x+1}}=3x$ ;	b) $displaystyle sqrt{{2+sqrt{{3x-5}}}}=sqrt{{x+1}}$ ;
c) $displaystyle sqrt{{frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$ ;	d) $displaystyle frac{{sqrt{{5x+7}}}}{{sqrt{{x+3}}}}=4$ .

Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $displaystyle 4sqrt{x}+6sqrt{{y-1}}$ .

Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $displaystyle sqrt{{x-a}}+sqrt{{y-b}}+sqrt{{z-c}}=frac{1}{2}left( {x+y+z} right)$ trong đó a+b+c = 3.

Bài tập 35: Giải phương trình: $displaystyle sqrt{{x+3-4sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x+8+6sqrt{{x-1}}}}=5$ .

Bài tập 36: Giải phương trình: $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-5x+6}}+sqrt{{x+1}}=sqrt{{x-2}}+sqrt{{{{x}^{2}}-2x-3}}$ .

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $displaystyle sqrt{{x-5}}+sqrt{{13-x}}$ .

Bài tập 38:

a) Tìm GTLN của biểu thức A = $displaystyle sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-8}}$ ;

b) Tìm GTNN của biểu thức B = $displaystyle sqrt{{x-3}}+sqrt{{5-x}}$ .

Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $displaystyle frac{{{{x}^{2}}-sqrt{2}}}{{{{x}^{4}}+(sqrt{3}-sqrt{2}){{x}^{2}}-sqrt{6}}}$

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:

$displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{2}$ ;

$displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{{sqrt{2}}}$ .

Bài tập 41: Cho ba số x, y, $displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $displaystyle sqrt{x}$ , $displaystyle sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $displaystyle 2a+b-2sqrt{{cd}}$ và $displaystyle 2c+d-2sqrt{{ab}}$ .

Bài tập 43:

a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $displaystyle sqrt{{a+b}}<sqrt{a}+sqrt{b}$ ;

b) So sánh $displaystyle sqrt{{2017+2018}}$ với $displaystyle sqrt{{2017}}+sqrt{{2018}}$ .

Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $displaystyle sqrt{{ax}}+sqrt{{by}}le sqrt{{(a+b)(x+y)}}$ .

Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.

Chứng minh: $displaystyle a+b+cge sqrt{{ab}}+sqrt{{ac}}+sqrt{{bc}}$ .

Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $displaystyle sqrt{{n+a}}+sqrt{{n-a}}<2sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.

Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $displaystyle sqrt{{101}}-sqrt{{99}}>0,1$ .

Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $displaystyle 11111sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $displaystyle {{(A+Bsqrt{3})}^{2}}$ .

Bài tập 48: Cho A = $displaystyle asqrt{a}+sqrt{{ab}}$ và B = $displaystyle bsqrt{b}+sqrt{{ab}}$ với a > 0, b > 0.

Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $displaystyle sqrt{b}$ :

a) $displaystyle sqrt{{a+sqrt{b}}}pm sqrt{{a-sqrt{b}}}=sqrt{{2(apm sqrt{{{{a}^{2}}-b}})}}$ ;

b) $displaystyle sqrt{{apm sqrt{b}}}=sqrt{{frac{{a+sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}pm sqrt{{frac{{a-sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}$ .

Bài tập 50: Chứng minh rằng: $displaystyle 2(sqrt{{n+1}}-sqrt{n})<frac{1}{{sqrt{n}}}<2(sqrt{n}-sqrt{{n-1}})$ với n Î $displaystyle {{mathbb{N}}^{*}}$ .

Áp dụng: cho S = $displaystyle 1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{100}}}}$ . Chứng minh rằng 18 < S < 19.

Bài tập 51: Chứng minh rằng: $displaystyle frac{1}{{2sqrt{{n+1}}}}<sqrt{{n+1}}-sqrt{n}$ với n Î $displaystyle mathbb{N}$ .

Áp dụng chứng minh rằng: $displaystyle 1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{2500}}}}<100$ .

Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:

S = $displaystyle xsqrt{{frac{{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{x}^{2}}}}}}+ysqrt{{frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{y}^{2}}}}}}+zsqrt{{frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}}{{1+{{z}^{2}}}}}}$ .

Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

A = $displaystyle sqrt{{frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}}}$ là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $displaystyle sqrt{{xy}}+sqrt{{yz}}+sqrt{{zx}}$ .

Bài tập 55: Cho A = $displaystyle sqrt{{x+3}}+sqrt{{5-x}}$ . Chứng minh rằng A ≤ 4.

Bài tập 56: Cho B = $displaystyle frac{{{{x}^{3}}}}{{1+y}}+frac{{{{y}^{3}}}}{{1+x}}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.

Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $displaystyle frac{1}{{x+1}}+frac{1}{{y+1}}+frac{1}{{z+1}}=2$ .

Chứng minh rằng xyz ≤ $displaystyle frac{1}{8}$ .

Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x⁴ + y⁴ + z⁴ = 3xyz.

Bài tập 59: Cho $displaystyle sqrt{x}+2sqrt{y}=10$ . Chứng minh rằng x + y ≥ 20.

Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

A = $displaystyle sqrt{{x+y}}+sqrt{{y+z}}+sqrt{{z+x}}le sqrt{6}$ .

Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai

LÝ THUYẾT

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

II . Bổ sung

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

DẠNG 3: Giải phương trình

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Để lại một bình luận Hủy

LÝ THUYẾT

I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương

II . Bổ sung

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Thực hiện phép tính

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

DẠNG 3: Giải phương trình

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức

Chia sẻ

Để lại một bình luận Hủy