LÝ THUYẾT
I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
| 1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:
Khai phương một tích $ displaystyle sqrt{{A.B}}=sqrt{A}.sqrt{B}$ Nhân các căn thức bậc hai 2. Với A ≥ 0, B > 0 thì: Khai phương một thương $ displaystyle sqrt{{frac{A}{B}}}=frac{{sqrt{A}}}{{sqrt{B}}}$ Chia hai căn thức bậc hai |
II . Bổ sung
| 1. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}=sqrt{{{{A}_{1}}}}.sqrt{{{{A}_{2}}}}…sqrt{{{{A}_{n}}}}$
2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{{a+b}}le sqrt{a}+sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = 0 hoặc b = 0) 3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{{a-b}}ge sqrt{a}-sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b hoặc b = 0) 4. Công thức “căn phức tạp” $ displaystyle sqrt{{Apm B}}=sqrt{{frac{{A+sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}pm sqrt{{frac{{A-sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$ Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B. 5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $ displaystyle frac{{a+b}}{2}ge sqrt{{ab}}$ (dấu “=” xảy ra Û a = b). Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si: · Dạng có chứa dấu căn: $ displaystyle a+bge 2sqrt{{ab}}$ với a ≥ 0; b ≥ 0; $ displaystyle frac{1}{{sqrt{{ab}}}}ge frac{2}{{a+b}}$ với a > 0; b > 0. · Dạng không có chứa dấu căn: $ displaystyle frac{{{{{(a+b)}}^{2}}}}{2}ge ab$; $ displaystyle {{(a+b)}^{2}}ge 4ab$; $ displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab$; 6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số) · Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2) $ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$; · Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3) $ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$; · Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn) $ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$; (dấu “=” xảy ra Û $ displaystyle frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=…=frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0) |
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Thực hiện phép tính
Bài tập 1: Tính:
a) A = $ displaystyle sqrt{{3+sqrt{{5+2sqrt{3}}}}}.sqrt{{3-sqrt{{5+2sqrt{3}}}}}$;
b) B = $ displaystyle sqrt{{4+sqrt{8}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{2}}}}}.sqrt{{2-sqrt{{2+sqrt{2}}}}}$.
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
| a) $ displaystyle (sqrt{{12}}+3sqrt{{15}}-4sqrt{{135}}).sqrt{3}$; | b) $ displaystyle sqrt{{252}}-sqrt{{700}}+sqrt{{1008}}-sqrt{{448}}$; |
| c) $ displaystyle 2sqrt{{40sqrt{{12}}}}-2sqrt{{sqrt{{75}}}}-3sqrt{{5sqrt{{48}}}}$. |
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
| a) $ displaystyle (sqrt{{12}}+sqrt{{75}}+sqrt{{27}}):sqrt{{15}}$; | c) $ displaystyle left( {frac{{sqrt{1}}}{{sqrt{7}}}-sqrt{{frac{{16}}{7}}}+sqrt{{frac{9}{7}}}} right):sqrt{7}$. |
| b) $ displaystyle (12sqrt{{50}}-8sqrt{{200}}+7sqrt{{450}}):sqrt{{10}}$; |
Bài tập 4: Cho a = $ displaystyle sqrt{{frac{3}{5}}}+sqrt{{frac{5}{3}}}$. Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle sqrt{{15{{a}^{2}}-8asqrt{{15}}+16}}$.
Bài tập 5: Tính:
| a) $ displaystyle frac{{sqrt{{99999}}}}{{sqrt{{11111}}}}$; | b) $ displaystyle frac{{sqrt{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}}}{{sqrt{{47}}}}$; | c) $ displaystyle sqrt{{frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}$; | d) $ displaystyle sqrt{{frac{{0,2,,.,,1,21,,.,,0,3}}{{7,5,,.,,3,2,,.,,0,64}}}}$. |
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
| a) $ displaystyle sqrt{{{{{27}}^{2}}-{{{23}}^{2}}}}$; | b) $ displaystyle sqrt{{{{{37}}^{2}}-{{{35}}^{2}}}}$; |
| c) $ displaystyle sqrt{{{{{65}}^{2}}-{{{63}}^{2}}}}$; | d) $ displaystyle sqrt{{{{{117}}^{2}}-{{{108}}^{2}}}}$. |
Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $ displaystyle sqrt{{19}}$ và có hiệu bằng $ displaystyle sqrt{7}$. Tính tích của hai số đó.
Bài tập 8: Tính $ displaystyle sqrt{A}$ biết:
| a) A = $ displaystyle 13-2sqrt{{42}}$; | b) A = $ displaystyle 46+6sqrt{5}$; |
| c) A = $ displaystyle 12-3sqrt{{15}}$. |
Bài tập 9: Tính:
| a) $ displaystyle sqrt{{3+sqrt{5}}}-sqrt{{3-sqrt{5}}}-sqrt{2}$; | b) $ displaystyle sqrt{{4-sqrt{7}}}-sqrt{{4+sqrt{7}}}+sqrt{7}$; |
| c) $ displaystyle sqrt{{6,5+sqrt{{12}}}}+sqrt{{6,5-sqrt{{12}}}}+2sqrt{6}$. |
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
| a) $ displaystyle (4+sqrt{{15}})(sqrt{{10}}-sqrt{6})sqrt{{4-sqrt{{15}}}}$; | c) $ displaystyle frac{{sqrt{{sqrt{5}+2}}+sqrt{{sqrt{5}-2}}}}{{sqrt{{sqrt{5}+1}}}}-sqrt{{3-2sqrt{2}}}$. |
| b) $ displaystyle sqrt{{3-sqrt{5}}}(sqrt{{10}}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$; |
Bài tập 11: Biết x = $ displaystyle (sqrt{{10}}-sqrt{6}).sqrt{{4+sqrt{{15}}}}$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle frac{{sqrt{{4x+4+frac{1}{x}}}}}{{sqrt{x}left| {2{{x}^{2}}-x-1} right|}}$
Bài tập 12: Tính:
a) Q = $ displaystyle (3-sqrt{5})sqrt{{3+sqrt{5}}}+(3+sqrt{5})sqrt{{3-sqrt{5}}}$;
b) R = $ displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}}}.sqrt{{2-sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}}}$.
Bài tập 13: So sánh:
| a) $ displaystyle 3+sqrt{5}$ và $ displaystyle 2sqrt{2}+sqrt{6}$; | b) $ displaystyle 2sqrt{3}+4$ và $ displaystyle 3sqrt{2}+sqrt{{10}}$; |
| c) 18 và $ displaystyle sqrt{{15}}.sqrt{{17}}$. |
Bài tập 14*:
a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;
b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $ displaystyle sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $ displaystyle sqrt{{4+sqrt{7}}}-sqrt{{4-sqrt{7}}}$.
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
| a) $ displaystyle sqrt{{11-2sqrt{{10}}}}$; | b) $ displaystyle sqrt{{9-2sqrt{{14}}}}$; |
| c) $ displaystyle sqrt{{4+2sqrt{3}}}-sqrt{{4-2sqrt{3}}}$; | d) $ displaystyle sqrt{{9-4sqrt{5}}}-sqrt{{9+4sqrt{5}}}$; |
| e) $ displaystyle sqrt{{4-sqrt{7}}}-sqrt{{4+sqrt{7}}}$; | f) $ displaystyle frac{{sqrt{3}+sqrt{{11+6sqrt{2}}}-sqrt{{5+2sqrt{6}}}}}{{sqrt{2}+sqrt{{6+2sqrt{5}}}-sqrt{{7+2sqrt{{10}}}}}}$; |
| g) $ displaystyle sqrt{{5sqrt{3}+5sqrt{{48-10sqrt{{7+4sqrt{3}}}}}}}$; | |
| h) $ displaystyle sqrt{{4+sqrt{{10+2sqrt{5}}}}}+sqrt{{4-sqrt{{10+2sqrt{5}}}}}$; | i) $ displaystyle sqrt{{94-42sqrt{5}}}-sqrt{{94+42sqrt{5}}}$. |
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle frac{{sqrt{6}+sqrt{{14}}}}{{2sqrt{3}+sqrt{{28}}}}$; | b) B = $ displaystyle frac{{9sqrt{5}+3sqrt{{27}}}}{{sqrt{5}+sqrt{3}}}$; |
| c) C = $ displaystyle frac{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{6}+sqrt{8}+4}}{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4}}}$; | d) D = $ displaystyle frac{{3sqrt{8}-2sqrt{{12}}+sqrt{{20}}}}{{3sqrt{{18}}-2sqrt{{27}}+sqrt{{45}}}}$. |
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $ displaystyle frac{{sqrt{{sqrt{7}-sqrt{3}}}-sqrt{{sqrt{7}+sqrt{3}}}}}{{sqrt{{sqrt{7}-2}}}}$.
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle sqrt{{6+2sqrt{2}.sqrt{{3-sqrt{{4+2sqrt{3}}}}}}}$; | b) B = $ displaystyle sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-12sqrt{5}}}}}$; |
| c) C = $ displaystyle sqrt{{3-sqrt{5}}}.(sqrt{{10}}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$. |
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}-sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}$.
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $ displaystyle sqrt{{x+2sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}$.
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{x+2sqrt{{2x-4}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{2x-4}}}}$.
Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A = $ displaystyle sqrt{{frac{{{{{(x-6)}}^{4}}}}{{{{{(5-x)}}^{2}}}}}}-frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$ (x < 5), tại x = 4;
b) B = $ displaystyle 5x-sqrt{{125}}+frac{{sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}}}{{sqrt{{x+5}}}}$ (x ≥ 0), tại x = $ displaystyle sqrt{5}$.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
| a) A = $ displaystyle frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.sqrt{{frac{{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}}{4}}}$; | b) B = $ displaystyle frac{1}{{2a-1}}.sqrt{{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}}$. |
Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $ displaystyle sqrt{{a+1}}+sqrt{{a+3}}$ với $ displaystyle 2sqrt{{a+2}}$.
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:
M = $ displaystyle frac{{sqrt{{1+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}left[ {sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}} right]}}{{2+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$.
Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{frac{{{{{({{x}^{2}}-3)}}^{2}}+12{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}$.
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $ displaystyle frac{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}-frac{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}}}$.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Tìm giá trị của x để A < 2.
Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:
a) $ displaystyle 2+sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;
b) $ displaystyle 6-4sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.
Bài tập 30*:
a) Rút gọn biểu thức A = $ displaystyle sqrt{{1+frac{1}{{{{a}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}$ với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng:
B = $ displaystyle sqrt{{1+frac{1}{{{{1}^{2}}}}+frac{1}{{{{2}^{2}}}}}}+sqrt{{1+frac{1}{{{{2}^{2}}}}+frac{1}{{{{3}^{2}}}}}}+sqrt{{1+frac{1}{{{{3}^{2}}}}+frac{1}{{{{4}^{2}}}}}}+…+sqrt{{1+frac{1}{{{{{99}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{100}}^{2}}}}}}$.
DẠNG 3: Giải phương trình
Bài tập 31: Giải phương trình:
| a) $ displaystyle sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$; | b) $ displaystyle frac{{sqrt{{2x-3}}}}{{sqrt{{x-1}}}}=2$. |
Bài tập 32: Giải phương trình:
| a) $ displaystyle 1+sqrt{{3x+1}}=3x$; | b) $ displaystyle sqrt{{2+sqrt{{3x-5}}}}=sqrt{{x+1}}$; |
| c) $ displaystyle sqrt{{frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$; | d) $ displaystyle frac{{sqrt{{5x+7}}}}{{sqrt{{x+3}}}}=4$. |
Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $ displaystyle 4sqrt{x}+6sqrt{{y-1}}$.
Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $ displaystyle sqrt{{x-a}}+sqrt{{y-b}}+sqrt{{z-c}}=frac{1}{2}left( {x+y+z} right)$ trong đó a+b+c = 3.
Bài tập 35: Giải phương trình: $ displaystyle sqrt{{x+3-4sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x+8+6sqrt{{x-1}}}}=5$.
Bài tập 36: Giải phương trình: $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-5x+6}}+sqrt{{x+1}}=sqrt{{x-2}}+sqrt{{{{x}^{2}}-2x-3}}$.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $ displaystyle sqrt{{x-5}}+sqrt{{13-x}}$.
Bài tập 38:
a) Tìm GTLN của biểu thức A = $ displaystyle sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-8}}$;
b) Tìm GTNN của biểu thức B = $ displaystyle sqrt{{x-3}}+sqrt{{5-x}}$.
Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $ displaystyle frac{{{{x}^{2}}-sqrt{2}}}{{{{x}^{4}}+(sqrt{3}-sqrt{2}){{x}^{2}}-sqrt{6}}}$
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức
Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:
| a) $ displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{2}$; | b) $ displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{{sqrt{2}}}$. |
Bài tập 41: Cho ba số x, y, $ displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $ displaystyle sqrt{x}$, $ displaystyle sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $ displaystyle 2a+b-2sqrt{{cd}}$ và $ displaystyle 2c+d-2sqrt{{ab}}$.
Bài tập 43:
a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $ displaystyle sqrt{{a+b}}<sqrt{a}+sqrt{b}$;
b) So sánh $ displaystyle sqrt{{2017+2018}}$ với $ displaystyle sqrt{{2017}}+sqrt{{2018}}$.
Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $ displaystyle sqrt{{ax}}+sqrt{{by}}le sqrt{{(a+b)(x+y)}}$.
Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.
Chứng minh: $ displaystyle a+b+cge sqrt{{ab}}+sqrt{{ac}}+sqrt{{bc}}$.
Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $ displaystyle sqrt{{n+a}}+sqrt{{n-a}}<2sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $ displaystyle sqrt{{101}}-sqrt{{99}}>0,1$.
Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $ displaystyle 11111sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $ displaystyle {{(A+Bsqrt{3})}^{2}}$.
Bài tập 48: Cho A = $ displaystyle asqrt{a}+sqrt{{ab}}$ và B = $ displaystyle bsqrt{b}+sqrt{{ab}}$ với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $ displaystyle sqrt{b}$:
a) $ displaystyle sqrt{{a+sqrt{b}}}pm sqrt{{a-sqrt{b}}}=sqrt{{2(apm sqrt{{{{a}^{2}}-b}})}}$;
b) $ displaystyle sqrt{{apm sqrt{b}}}=sqrt{{frac{{a+sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}pm sqrt{{frac{{a-sqrt{{{{a}^{2}}-b}}}}{2}}}$.
Bài tập 50: Chứng minh rằng: $ displaystyle 2(sqrt{{n+1}}-sqrt{n})<frac{1}{{sqrt{n}}}<2(sqrt{n}-sqrt{{n-1}})$ với n Î $ displaystyle {{mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng: cho S = $ displaystyle 1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{100}}}}$. Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài tập 51: Chứng minh rằng: $ displaystyle frac{1}{{2sqrt{{n+1}}}}<sqrt{{n+1}}-sqrt{n}$ với n Î $ displaystyle mathbb{N}$.
Áp dụng chứng minh rằng: $ displaystyle 1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{2500}}}}<100$.
Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:
S = $ displaystyle xsqrt{{frac{{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{x}^{2}}}}}}+ysqrt{{frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}}{{1+{{y}^{2}}}}}}+zsqrt{{frac{{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}}{{1+{{z}^{2}}}}}}$.
Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A = $ displaystyle sqrt{{frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}}}$ là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $ displaystyle sqrt{{xy}}+sqrt{{yz}}+sqrt{{zx}}$.
Bài tập 55: Cho A = $ displaystyle sqrt{{x+3}}+sqrt{{5-x}}$. Chứng minh rằng A ≤ 4.
Bài tập 56: Cho B = $ displaystyle frac{{{{x}^{3}}}}{{1+y}}+frac{{{{y}^{3}}}}{{1+x}}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.
Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $ displaystyle frac{1}{{x+1}}+frac{1}{{y+1}}+frac{1}{{z+1}}=2$.
Chứng minh rằng xyz ≤ $ displaystyle frac{1}{8}$.
Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.
Bài tập 59: Cho $ displaystyle sqrt{x}+2sqrt{y}=10$. Chứng minh rằng x + y ≥ 20.
Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
A =$ displaystyle sqrt{{x+y}}+sqrt{{y+z}}+sqrt{{z+x}}le sqrt{6}$.