Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Bình Định năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút.
Bài 1: (5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : $ displaystyle A=frac{1}{sqrt{2}+sqrt{2+sqrt{3}}}+frac{1}{sqrt{2}-sqrt{2}-sqrt{3}}$
b) Giải phương trình : $ displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=11x+xy+y=3+4sqrt{2}end{array} right.$
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có ba chữ số bất kỳ, bao giờ cũng tìm được hai số mà khi viết chúng liền nhau ta được một số có 6 chữ số chia hết cho 7.
b) Cho hai số thực x, y dương thõa mãn điều kiện x2 + y2 – xy = 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 + y2.
Bài 3: ( 4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = – x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 1 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi m đường thảng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biết A và B.
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B lần lượt là x1; x2 . Chứng minh rằng : | x1 – x2 | ≥ 2
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho ΔABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của cạnh AB và E là trọng tâm của ΔACD. Chứng minh rằng : OE ⊥ CD.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay đối (CD không trùng với AB). Vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O;R) tại B. Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp.
b) Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng khi đường kính CD thay đổi (CD không trùng với AB) thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định.