Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hải Dương năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 27/3/2013.
Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: $ mathrm{A=}left( sqrt{mathrm{x}-sqrt{mathrm{50}}}-sqrt{mathrm{x+}sqrt{mathrm{50}}} right)sqrt{mathrm{x+}sqrt{{{mathrm{x}}^{mathrm{2}}}-mathrm{50}}}$ với $ mathrm{x}ge sqrt{50}$
b) Cho $ mathrm{x+}sqrt{mathrm{3}}mathrm{=2}$. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: $ frac{mathrm{4x}}{{{mathrm{x}}^{mathrm{2}}}-mathrm{5x+6}}mathrm{+}frac{mathrm{3x}}{{{mathrm{x}}^{mathrm{2}}}-mathrm{7x+6}}mathrm{=6}$
b) Giải hệ phương trình sau: $ displaystyle left{ begin{array}{l}sqrt{mathrm{x}}mathrm{+}sqrt{mathrm{y}}mathrm{+4}sqrt{mathrm{xy}}mathrm{=16}mathrm{x+y=10}end{array} right.$
Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $ mathrm{4}{{mathrm{a}}^{mathrm{2}}}mathrm{+3ab}-mathrm{11}{{mathrm{b}}^{mathrm{2}}}$ chia hết cho 5 thì $ {{a}^{4}}-{{b}^{4}}$ chia hết cho 5.
b) Cho phương trình $ displaystyle text{a}{{text{x}}^{text{2}}}text{+bx+1},=0,$ với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết $ mathrm{x=}frac{sqrt{mathrm{5}}-sqrt{mathrm{3}}}{sqrt{mathrm{5}}mathrm{+}sqrt{mathrm{3}}}$ là nghiệm của phương trình.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho $ {{mathrm{A}}_{mathrm{n}}}mathrm{=}frac{mathrm{1}}{mathrm{(2n+1)}sqrt{mathrm{2n}-mathrm{1}}}$ với n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A1 + A2 + A3 +…+ An < 1