Đề thi Toán vào 10 THPT chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định 2017 – 2018

Bài 1: (2,0 điểm)   Cho biểu thức A =  $left( frac{sqrt{text{x}},,-,,2}{text{x},,-,,1},,-,,frac{sqrt{text{x}},,+,,2}{text{x},,+,,2sqrt{text{x}},,+,,1} right)frac{{{text{x}}^{2}},,-,,2text{x},,+,,1}{2}$

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A

b) Tìm x để A ≥ 0

c)  Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình sau: $4{{text{x}}^{4}},,+,,4{{text{x}}^{3}},,-,,20{{text{x}}^{2}},,+,,2text{x},,+,,1,,=,,0$

2) Chứng minh rằng nếu số tự nhiên $overline{text{abc}}$ là số nguyên tố thì ${{text{b}}^{2}},,-,,4text{ac}$ không là số chính phương.

Bài 3: (1,0 điểm)   Cho đa thức f(x) = – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m là tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 4: (4,0 điểm)  

1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm  giữa P và D), H là trung điểm của CD.

a) Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ DI song song với PO, điểm I thuộc AB, chứng minh: $widehat{text{PDI}},,text{=},,widehat{text{BAH}}$

c) Chứng minh đẳng thức $text{P}{{text{A}}^{text{2}}},,text{=},,text{PC}text{.PD}$

d) BC cắt OP tại J, chứng minh AJ song song với DB.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM ⊥ BC, kẻ IN ⊥ AC, IK ⊥ AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng $text{I}{{text{M}}^{text{2}}},,text{+},,text{I}{{text{N}}^{text{2}}},,text{+},,text{I}{{text{K}}^{text{2}}}$ nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm)  Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz ≤ 1.

Chứng minh rằng: $frac{text{x}left( 1,,-,,{{text{y}}^{3}} right)}{{{text{y}}^{3}}},,+,,frac{text{y}left( 1,,-,,{{text{z}}^{3}} right)}{{{text{z}}^{3}}},,,+,,frac{text{z}left( 1,,-,,{{text{x}}^{3}} right)}{{{text{x}}^{3}}},,,ge ,,0$