Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2012-2013

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán trường THPT chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm học 2012-2013.

Câu 1: (2.0 điểm )  Cho biểu thức :

$ P=left( frac{sqrt{a}+1}{sqrt{a}-1}-frac{sqrt{a}-1}{sqrt{a}+1}+4sqrt{a} right)frac{1}{2asqrt{a}}$, (Với a > 0 ,  a ¹1)

1. Chứng minh rằng : $ displaystyle P=frac{2}{a-1}$

2. Tìm giá trị của a để P = a

Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x² và đư­ờng thẳng (d) : y = 2x + 3

1. Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt

2. Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ)

Câu 3 (2.0 điểm) : Cho ph­ương trình : x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

1. Giải phư­ơng trình khi m = 4

2. Tìm m để phư­ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đ­ường tròn (O) có đ­ờng kính AB cố định, M là một điểm thuộc (O) ( M khác A và B ) . Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau ở C. Đư­ờng tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đư­ờng thẳng AC tại C. CD là đ­ờng kính của (I). Chứng minh rằng:

1. Ba điểm O, M, D thẳng hàng

2. Tam giác COD là tam giác cân

3. Đư­ờng thẳng đi qua D và vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đư­ờng tròn (O)

Câu 5 (1.0 điểm) : Cho a,b,c là các số d­ương không âm thoả mãn : $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$

Chứng minh rằng : $ frac{a}{{{a}^{2}}+2b+3}+frac{b}{{{b}^{2}}+2c+3}+frac{c}{{{c}^{2}}+2a+3}le frac{1}{2}$