Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014.
Câu 1. (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $ A=left( frac{x+2}{xsqrt{x}-1}+frac{sqrt{x}+2}{x+sqrt{x}+1}+frac{1}{1-sqrt{x}} right):frac{sqrt{x}+1}{x+sqrt{x}+1}$ với $ xge 0,,,xne ,1$.
b) Cho $ x=frac{left( sqrt{3}-1 right).sqrt[3]{10+6sqrt{3}}}{sqrt{21+4sqrt{5}}+3}$, tính giá trị của biểu thức $ P={{left( {{x}^{2}}+4x-2 right)}^{2013}}.$
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình: $ 2{{x}^{2}}-4mx+2{{m}^{2}}-1=0$ (1), với x là ẩn, m là tham số.
a) Chứng minh với mọi giá trị của m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là $ {{x}_{1}},{{x}_{2}}.$. Tìm m để $ displaystyle 2{{x}_{1}}^{2}+4m{{x}_{2}}+2{{m}^{2}}-9<0.$
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Cho các số dương x, y thỏa mãn $ x-y={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$. Chứng minh rằng $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<1.$
b) Giải hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}2x={{y}^{2}}+12y={{z}^{2}}+12z={{x}^{2}}+1end{array} right..$
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) $ HA.HF={{R}^{2}}-O{{H}^{2}}.$
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $ left( x;y;z right)$ thỏa mãn $ frac{x+ysqrt{2013}}{y+zsqrt{2013}}$ là số hữu tỷ, đồng thời $ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ là số nguyên tố.
b) Tính diện tích của ngũ giác lồi ABCDE, biết các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB cùng có diện tích bằng 1.