Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm học 2012 – 2013.
Bài 1: (1,25 điểm)
1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $ sqrt{1-x}$.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 2mx + 1 đi qua điểm M (1; 2).
3) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3.
4) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết HB = 1cm, HC = 4cm.
Tính độ dài đoạn AH.
5) Cho một hình tròn có chu vi bằng 20π. Tính độ dài đường kính.
Bài 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức
$ A=frac{3sqrt{x}+sqrt{x}}{x+sqrt{x}}+frac{3left( x-sqrt{x}+1 right)}{xsqrt{x}+1}$, với điều kiện: x > 0.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Chứng minh A < 4.
Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình: $ {{x}^{2}}-2left( m-2 right)x-3m+3=0,,,,left( 1 right)$ ( m là tham số ).
1) Giải phương trình (1) với m = 5.
2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1, x2. Tìm các giá trị của m sao cho: $ 6{{x}_{1}}{{x}_{2}}-left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} right)+4{{m}^{2}}=0$
Bài 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm thuộc nửa đường tròn ( C khác A và C khác B ). Kẻ đường cao CH của tam giác ABC và đường cao HK của tam giác HBC.
a) Chứng minh CH.BC = HK.AB.
b) Gọi M và I lần lượt là trung điểm của BH và CH, chứng minh MK ⊥ KI
c) Chứng minh đường thẳng IK tiếp xúc với đường tròn đường kính AH.
Bài 5: (1,25 điểm) Giải hệ phương trình: $ left{ begin{array}{l}left( y+1 right)left( 2x+1 right)=xleft( 2y+3 right)left( x+1 right)left( 2y+1 right)=left( 2x-3 right)left( 4y+5 right).end{array} right.$
Bài 6: (1,0 điểm) Cho a, b, c ,d là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b +c + d = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ P=frac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}$.