Khái niệm hàm số lũy thừa, Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát, Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, Đạo hàm của căn thức
1. Khái niệm hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y = $displaystyle x_{{}}^{alpha }$, với α là một số thực đã cho. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:
– Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ.
– Nếu α ∈ ℤ ℤ+ thì tập các định là ℝ{0}.
– Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát
– Hàm số y= $displaystyle x_{{}}^{alpha }$ có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và ($displaystyle x_{{}}^{alpha }$)’= α$displaystyle x_{{}}^{{alpha -1}}$
– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số
y= $displaystyle u_{{}}^{alpha }$(x) cũng có đạo hàm trên J và ($displaystyle u_{{}}^{alpha }$)’= α$displaystyle u_{{}}^{{alpha -1}}$(x)u’(x).
3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương
Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y = $displaystyle x_{{}}^{n}$ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, ($displaystyle x_{{}}^{n}$)’= n$displaystyle x_{{}}^{{n-1}}$ và ∀x ∈ J, ($displaystyle x_{{}}^{n}$(x))’= n$displaystyle x_{{}}^{{n-1}}$(x)u’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y = $displaystyle x_{{}}^{n}$ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,($displaystyle x_{{}}^{n}$)’= n$displaystyle x_{{}}^{{n-1}}$ và ∀x ∈ J, (un(x))’= n$displaystyle u_{{}}^{{n-1}}$(x)u’(x) nếu u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.
5. Đạo hàm của hàm số chứa căn thức
Hàm số $displaystyle sqrt[n]{x}$ có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa $displaystyle x_{{}}^{{frac{1}{n}}}$ ( tập xác định của y = $displaystyle sqrt[n]{x}$ chứa tập xác định của y = $displaystyle x_{{}}^{{frac{1}{n}}}$ và trên tập xác định của y = $displaystyle x_{{}}^{{frac{1}{n}}}$ hai hàm số trùng nhau).
Khi n lẻ thì hàm số y = $displaystyle sqrt[n]{x}$ có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y = $displaystyle sqrt[n]{x}$ = $displaystyle x_{{}}^{{frac{1}{n}}}$ và $displaystyle left( {x_{{}}^{{frac{1}{n}}}} right)$ = $displaystyle frac{1}{n}x_{{}}^{{frac{1}{n}-1}}$ , do đó = $displaystyle frac{1}{{nsqrt[n]{{x_{{}}^{{n-1}}}}}}$. Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y = $displaystyle sqrt[n]{x}$ không có đạo hàm tại x= 0.
Khi n chẵn hàm y = $displaystyle sqrt[n]{x}$ có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo $displaystyle (sqrt[n]{x})’$ .
6. Đồ thị hàm số y = $displaystyle x_{{}}^{alpha }$ trên khoảng (0; +∞)
Chú ý rằng khi khảo sát hàm số y = $displaystyle x_{{}}^{alpha }$ với α cụ thể cần xét hàm số trên tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).