Tổng hợp lý thuyết bất đẳng thức:
1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A > B, A < B, A ≥ B, A ≤ B, trong đó A, B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.
Biểu thức A được gọi là vế trái và B được gọi là vế phải của bất đẳng thức.
Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
– Nếu: A < B => C < D là mệnh đề đúng thì ta bảo bất đẳng thức C < D là hệ quả của bất đẳng thức A < B.
– Nếu: A < B => C < D và C < D => A < B là mệnh đề đúng thì hai bất đẳng thức A < B và C < D được gọi là tương đương và kí hiệu là A < B <=> C < D.
2. Các tính chất, quy tắc của bất đẳng thức
– Tính chất bắc cầu: $displaystyle left{ begin{array}{l}A<BB<Cend{array} right.Rightarrow A<C$
– Quy tắc cộng: A < B <=> A + C < B + C
– Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều: $displaystyle left{ begin{array}{l}A<BC<Dend{array} right.Rightarrow A+C<B+D$
– Quy tắc nhân:
$displaystyle left{ begin{array}{l}A<BC>0end{array} right.Leftrightarrow AC<BC$
$displaystyle left{ begin{array}{l}A<BC<0end{array} right.Leftrightarrow AC>BC$
– Quy tắc nhân hai bất đẳng thức: $displaystyle left{ begin{array}{l}0<A<B <C<Dend{array} right.Leftrightarrow AC<BD$
– Quy tắc lũy thừa, khai căn:
Với A, B > 0, n ∈ N* ta có:
$displaystyle A<BLeftrightarrow A_{{}}^{n}<B_{{}}^{n}$
$displaystyle A<BLeftrightarrow sqrt[n]{A}<sqrt[n]{B}$
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân – Bất đẳng thức Cosi
$displaystyle frac{{a+b}}{2}$ được gọi là trung bình cộng của hai số a và b
$displaystyle frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…{{a}_{n}}}}{n}$ là trung bình cộng của n số: a1, a2,…, an
$displaystyle sqrt{{ab}}$ là trung binh nhân của hai số không âm: a ≥ 0, b ≥ 0
$displaystyle sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}$ là trung bình nhân của n số không âm: a1 ≥ 0, a2 ≥ 0,…, an ≥ 0 là
Định lí bất đẳng thức Cô si: $displaystyle sqrt{{ab}}le frac{{a+b}}{2}$ với ∀ a, b ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Định lý Cosi mở rộng:
$displaystyle sqrt{{abc}}le frac{{a+b+c}}{3}$ với ∀a, b, c ≥ 0.
$displaystyle sqrt[n]{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}…{{a}_{n}}}}le frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…{{a}_{n}}}}{n}$ với ∀ a1, a2,…, an ≥ 0
– Hệ quả 1 của định lý Cosi: Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau
– Hệ quả 2 của định lý Cosi. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ta có các bất đẳng thức sau:
|a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ R
Dấu “=” chỉ xảy ra khi ab
|x| ≤ a <=> – a ≤ x ≤ a ∀a > 0
|x| ≥ a <=> $displaystyle left[ begin{array}{l}xge axle aend{array} right.forall a>0$