Lý thuyết đại cương về phương trình

Tổng quát lý thuyết đại cương về phương trình

1. Định nghĩa phương trình một ẩn

– Phương trình một ẩn số với biến x là một mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1)
trong đó f(x), g(x) là các biểu thức với biến số x. Ta gọi f(x) là vế trái và g(x) là vế phải của phương trình.
– Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện của biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.
– Nếu có số $displaystyle {{x}_{0}}$ thỏa mãn điều kiện xác định và $displaystyle f({{x}_{0}})=g({{x}_{0}})$ là mệnh đề đúng thì ta nói $displaystyle {{x}_{0}}$ là nghiệm của phương trình (1).
Một phương trình có thể có nghiệm và cũng có thể vô nghiệm.
Ví dụ: Phương trình: 2 = 3x – 4 có một nghiệm là 2
Phương trình $displaystyle x_{{}}^{2}+3=1$ vô nghiệm

2. Khái niệm phương trình trương đương

Hai phương trình:
$displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ (1)
$displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ (2)
đươc gọi là tương đương và được kí hiệu là: $displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ ⇔ $displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ nếu các tập nghiệm của 2 phương trình này bằng nhau.
Định lí:
a) Nếu h(x) là biểu thức thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình f(x) = g(x) thì ta có:
f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) = g(x)
b) Nếu h(x) thỏa mãn điều kiện xác định và # 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì ta có:
f(x).h(x) = g(x).h(x) ⇔ f(x) = g(x)
⇔ f(x) = g(x)

3. Khái niệm phương trình hệ quả

Phương trình $displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$ là phương trình hệ quả của phương trình $displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$, kí hiệu $displaystyle {{f}_{1}}(x)={{g}_{1}}(x)$ => $displaystyle {{f}_{2}}(x)={{g}_{2}}(x)$
nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập nghiệm của phương trình thứ hai.
Ví dụ: 2x =6 – x => (x-2)(x+1)=0