Lý thuyết logarit

Lý thuyết logarit

1. Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a, b với a#1. Nghiệm duy nhất của phương trình $displaystyle a_{{}}^{x}=b$ được gọi là
$displaystyle {{log }_{a}}b$ ( tức là số α có tính chất là $displaystyle a_{{}}^{alpha }=b$).

2. Logarit thập phân và logarit tự nhiên

Có 2 loại logarit đó là: logarit thập phân và logarit tự nhiên.
Logarit cơ số 10 còn được gọi là logarit thập phân, số
$displaystyle {{log }_{{10}}}b$ thường được viết là logb hoặc lgb.
Logarit cơ số e (với e= ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là logarit tự nhiên, số $displaystyle {{log }_{e}}b$ thường được viết tắt là lnb.

3. Tính chất của logarit

Logarit có các tính chất sau đây:
a) Logarit của đơn vị và logarit của cơ số
Với cơ số tùy ý, ta luôn có $displaystyle {{log }_{a}}1$ = 0 và $displaystyle {{log }_{a}}a$ = 1.
b) Phép mũ hóa và phép logarit hóa
Phép mũ hóa và phép logarit hóa theo cùng cơ số( mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính $displaystyle a_{{}}^{alpha }$; logarit hóa số dương b theo cơ số a là tính $displaystyle {{log }_{a}}b$) là hai phép toán ngược nhau ∀a >0 (a#1), ∀b> 0, = b và ∀a >0 (a#1), = α.
c) Logarit và các phép toán
Phép logarit hóa sẽ biến: phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là:
∀a,b1,b2 > 0 ( a#1): $displaystyle {{log }_{a}}({{b}_{1}}{{b}_{2}})={{log }_{a}}{{b}_{1}}+{{log }_{a}}{{b}_{2}}$
$displaystyle {{log }_{a}}left( {frac{{{{b}_{1}}}}{{{{b}_{2}}}}} right)={{log }_{a}}{{b}_{1}}-{{log }_{a}}{{b}_{2}}$
và ∀a,b >0 (a#1), ∀α, $displaystyle {{log }_{a}}ab_{{}}^{alpha }=alpha {{log }_{a}}b$

4) Đổi cơ số

Chúng ta có thể chuyển các phép lấy logarit theo những cơ số khác nhau về tính logarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là:
∀a,b,c >0 (a, c#1): $displaystyle {{log }_{a}}b=frac{{{{{log }}_{c}}b}}{{{{{log }}_{c}}a}}$
Đặc biệt ∀a,b >0 (a,b #1): $displaystyle {{log }_{a}}b=frac{1}{{{{{log }}_{b}}a}}$
và ∀a,b >0 (a#1), ∀α, β (α# 0): $displaystyle {{log }_{{a_{{}}^{alpha }}}}b=frac{1}{alpha }{{log }_{a}}b$ , $displaystyle {{log }_{{a_{{}}^{alpha }}}}b_{{}}^{beta }=frac{beta }{alpha }{{log }_{a}}b$

4. Sử dụng máy tính cầm tay (bỏ túi) để tính logarit

Cũng giống như tính các lũy thừa, các em có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính logarit với độ chính xác rất cao.