154 bài tập hay chọn lọc – Hình học chương 2 – Toán 9

Bài 91: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B là tiếp điểm)

1. Tính số đo các góc của tam giác OAB
2. Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
3. AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC

Bài 92: Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng xy tại A. Trên tia Oz song song với đường thẳng xy lấy điểm I. Từ I vẽ các tiếp tuyến với (O) cắt xy tại E và F

1. Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp $displaystyle Delta OEF$
2. Cho $OI=Rsqrt{2}$, tính chu vi $Delta IEF$

Bài 93: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp $Delta ABC$. Gọi M, N, P lần lượt là tiếp điểm của AB, AC, BC với (O). Chứng minh rằng: ${{P}_{{Delta ABC}}}=2(AM+BP+NC)$

Bài 94: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $widehat{{CAB}}={{30}^{o}}$. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh rằng:

1. MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
2. $M{{C}^{2}}=3{{R}^{2}}$

Bài 95: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ trung điểm I của bán kính OB vẽ dây cung CD vuông góc với OB.

1. So sánh IC và ID
2. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh:

• $Delta COM=Delta DOM$
• MD là tiếp tuyến của (O)

1. Tính độ dài đoạn MC theo R.

Bài 96: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm $Min (O)$. Gọi P và Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và tiếp tuyến Ax của (O), gọi I là trung điểm của PQ.

1. Chứng minh: A, I, M thẳng hàng. Suy ra I thuộc một đường tròn cố định và tính theo R bán kính của đường tròn này.
2. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến Ax ở N. Chứng minh: O, I, N thẳng hàng và MA là phân giác các góc OMQ, NMP
3. Đường trung trực của đường kính AB cắt MB tại K. Chứng minh: NK = R

Xác định vị trí của M để $Delta AMN$ đều

Bài 97: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM và CN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm)

1. Chứng minh: $Delta AMN$ là tam giác cân. Tính CM và AM theo R.
2. Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính ${{S}_{{AMCN}}}$ theo R
3. Gọi I là trung điểm của CM, AI cắt OM tại K. Chứng minh: K là trung điểm của AI.
4. Tính diện tích $Delta AKB$ theo R.

Bài 98: Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB)

1. Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.
2. Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn ${{30}^{o}}$. Tính diện tích hình chữ nhật CDEF

Bài 99: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dãy CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1. Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2. Giả sử $R=6,5cm,MA=4cm$. Tính CD
3. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: $MH.MK=frac{{M{{C}^{3}}}}{{2R}}$

Bài 100: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ tiếp tuyến Ax và By. Lấy điểm M trên (O), vẽ tiếp tuyến thứ ba tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D

1. Chứng minh: CD = AC + BD
2. Chứng minh $widehat{{COD}}={{90}^{o}}$ và tích AC.BD không thay đổi khi M di chuyển trên (O)
3. CD cắt AB tại E. Tính ME nếu $widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$
4. Tìm vị trí của M trên (O) để tổng AC, BD đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 101: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây AC = R. Vẽ đường kính CD của (O).

1. Tính theo R độ dài đoạn AD và ${{S}_{{Delta ACD}}}$
2. Gọi xy là tiếp tuyến tại B của (O). Tia AC và AD cắt xy tại E và F. Gọi M là trung điểm của EF, đường thẳng (d) qua C và song song với AM. Đoạn thẳng AM cắt CD tại I. Chứng minh (d) tiếp xúc (O)
3. Chứng minh: 4 điểm I, O, M, B cùng thuộc một đường tròn

Bài 102: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và 1 điểm C nằm trên đường tròn. Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại D. Chứng minh:

1. $widehat{{COD}}=widehat{{BOD}}$
2. DB cũng là tiếp tuyến tại B của (O)
3. $AC.OD=2{{R}^{2}}$

Bài 103: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và (d) là tiếp tuyến của (O) tại A. M là điểm di động trên (d). Kẻ tiếp tuyến MC đến (O) (C là tiếp điểm khác A). Tia BC cắt (d) tại K và kẻ CH vuông góc với AB tại H.

1. Chứng minh: OM // BK
2. BM cắt CH tại I. Chứng minh: I là trung điểm của CH
3. Gọi N là trực tâm của $Delta AMC$. Chứng minh: tứ giác AOCN là hình bình hành. Từ đó suy ra N di động trên đường cố định, chỉ rõ đường cố định đó ?
4. Cho OM = 2R. Chứng minh: $Delta AMC$ đều và tính AM, ${{S}_{{Delta AMC}}}$ theo R.

Bài 104: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, AC và BD là hai dây cung song song với nhau.

1. Chứng minh: AC = BD, suy ra CD là đường kính của (O)
2. Chứng tỏ ACBD là hình chữ nhật
3. Chứng tỏ rằng nếu dây cung $AC=Rsqrt{2}$ thì ACBD là hình vuông và ngược lại.
4. Tính diện tích ACBD trong trường hợp $widehat{{BAC}}={{30}^{o}}$

Bài 105: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, gọi (I) là đường tròn tâm I, đường kính OA.

1. Chứng tỏ (O) là (I) tiếp xúc trong nhau.
2. Cho C là điểm bất kì $in (O)$ (C khác A, B), AC cắt (I) tại K. Chứng minh

• $Delta ABC$ và $displaystyle Delta AOK$ vuông
• K là trung điểm của AC và OK = BC/2
• $Delta IOK$ và $Delta OBC$ đồng dạng.

1. Gọi EF là đường kính của (O) qua K, chứng tỏ B, C, E, F là 4 đỉnh của hình thang cân.
2. Cho $widehat{{BOC}}={{60}^{o}}$. Tính các cạnh, diện tích của $Delta ABC$ và của hình thang cân BCEF.

Bài 106: Cho đường tròn (O; 5cm) có đường kính AB và dây cung CD. Kéo dài AB và CD cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của dây cung CD.

1. Chứng minh: $Delta MNO$ là tam giác vuông
2. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh:

MN.MQ = MO.MB

1. Tia ON cắt (O) tại E. Tính độ dài dây cung EC nếu độ dài dây cung CD = 6cm

Bài 107: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 6cm. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

1. Tính độ dài OH
2. Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
3. Tính số đo góc $widehat{{DOE}}$

Bài 108: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc vơi MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.

1. Chứng minh OM = OP và $Delta NMP$ cân
2. Hạ $OIbot MN$. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O)
3. Chứng minh AM.BN = ${{R}^{2}}$
4. Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh họa.

Bài 109: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M trên đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt tiếp tuyến tại M theo thứ tự ở C và D

1. Chứng tỏ ACDB là hình thang vuông
2. Chứng tỏ AM // OD
3. AM cắt OC tại E và BM cắt OD tại F. Chứng tỏ: OE.OC = OF.OD
4. Biết $widehat{{MAB}}={{60}^{o}}$ Tính theo R diện tích tứ giác OMDB
5. Biết $x=widehat{{MBA}}={{30}^{o}}$. Tính $cos x,tan x,cot x$

Bài 110: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng

1. Chu vi $Delta MPQ$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M
2. $widehat{{BOC}}=2widehat{{DOE}}$
3. $DE<frac{1}{2}(AB+AC)$