Bài 41: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 8cm. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ các tiếp tuyến Ax, By. Gọi C là một điểm trên tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By ở D.
- Chứng minh tam giác COD là tam giác vuông
- Giả sử ED = 2cm. Tính độ dài đoạn CE
- Gọi I là trung điểm của CD, vẽ đường tròn tâm I bán kính IC. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Bài 42: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax; By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB và một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D.
- Chứng minh AC + BD = CD và AC.BD không đổi
- Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
- Cho $ AC=frac{R}{2}$. Tính MA, MB và bán kính đường tròn ngoại tiếp $ Delta BMD$
Bài 43: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Từ điểm A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt tại E, F.
- Chứng minh A, E, M, O thuộc một đường tròn.
- Chứng minh $ EObot OF$
- Chứng minh EF = AE + BF và AE.BF là không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O)
- Tìm vị trí của M để chu vi tứ giá (hoặc diện tích) tứ giác AEFB nhỏ nhất.
- Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $ Delta EOF$
- AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Vì sao?
- Kẻ $ MHbot AB$ (H thuộc AB). Chứng minh EB đi qua trung điểm K của MH
- Chứng minh ba điểm A, K, F thẳng hàng
- Cho OE = a. Tính MH theo R và a
Bài 44: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn. M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại E và N
- Chứng minh $ AE.BN={{R}^{2}}$
- Kẻ MH vuông góc By. Đường thẳng MH cắt OE tại K. Chứng minh $ AKbot MN$
- Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để K nằm trên đường tròn (O). Trong trường hợp này hãy tính sinMAB ?
Bài 45: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm E di động trên nửa đường tròn đó (E không trùng với A và B). Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Tia AE cắt By tại C, tia BE cắt Ax tại D.
- Chứng minh rằng tích AD.BC không đổi
- Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy hoặc song song với nhau.
- Xác định vị trí của điểm E trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.
Bài 46: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB (Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
- Chứng minh góc COD vuông
- Chứng minh CD = AC + BD
- Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
- Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh $ MIbot AB$
Bài 47: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này vẽ tiếp tuyến thứ 3, cắt hai tiếp tuyến Ax, By tại E và F. MH vuông góc với AB cắt EB tại K
- Chứng minh AE + BF = EF
- Chứng minh $ 4ME.MF=A{{B}^{2}}$
- So sánh MK và KH
- Tia BM cắt Ax tại C, tia AM cắt By tại D. Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy
Bài 48: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M nằm trên nửa đường tròn đó. H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB.
- Khi AH = 2cm, MH = 4cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng AB, MA, MB
- Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O). Hãy xác định vị trí của M để biểu thức $ frac{1}{{M{{A}^{2}}}}+frac{1}{{M{{B}^{2}}}}$ có giá trị nhỏ nhất.
- Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tiếp tuyến của (O) tại A ở D, OD cắt AM tại I. Khi điểm M di động trên nửa đường tròn (O) thì I chạy trên đường nào?
Bài 49: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn này dựng các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
- Chứng minh rằng góc COD là vuông
- Gọi I là giao điểm của AD và BC, MI cắt AB tại H. Chứng minh MH vuông góc với AB và I là trung điểm của MH
- Biết OD = d, tính MH theo d và R
Bài 50: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Đường thẳng (d) tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng (d) tại C và D (D nằm trong góc BOM)
- Chứng minh: OC, OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM
- Chứng minh: CA và DB vuông góc với AB.
- Chứng minh: $ AC.BD={{R}^{2}}$
- AM cắt BD tại F, BM cắt AC tại E. Chứng minh $ {{S}_{{Delta ABM}}}={{S}_{{Delta EFM}}}$
- Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD nhỏ nhất.