CHUYÊN ĐỀ 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức
* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương…
* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể
B. KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó.
* Chú ý:
– Với k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội của k
– Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
– Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
- an – bn chia hết cho a – b (a ≠ – b)
- a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b
- (a + b)n = B(a) + bn
2. Bài tập:
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251 – 1 chia hết cho 7
b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18
d) 3663 – 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với nÎ N
Giải:
a) 251 – 1 = (23)17 – 1 $ vdots $ 23 – 1 = 7
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 $ vdots $ 4 + 9 = 13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1)
1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 – 1 $ vdots $ 19 – 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 – 1)
hay 1719 + 1917 $ vdots $ 18
d) 3663 – 1 $ vdots $ 36 – 1 = 35 $ vdots $ 7
3663 – 1 = (3663 + 1) – 2 chi cho 37 dư – 2
e) 2 4n – 1 = (24) n – 1 $ vdots $ 24 – 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5 – n chia hết cho 30 với n ∈ N ;
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n ∈ Z
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n ∈ N ;
Giải:
a) n5 – n = n(n4 – 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n – 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n – 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác:
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n2 – 1).(n2 – 4 + 5) = n(n2 – 1).(n2 – 4 ) + 5n(n2 – 1)
= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 – 1)
Vì (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n2 – 1) chia hết cho 5
Suy ra (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 – 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) – (9n2 – 9) = (n2 – 1)(n2 – 9) = (n – 3)(n – 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì
A = (2k – 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k – 1).k.(k + 1).(k + 2) ⇒ A chia hết cho 16 (1)
Và (k – 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
c) 10 n +18n -28 = ( 10 n – 9n – 1) + (27n – 27)
+ Ta có: 27n – 27 $ vdots $ 27 (1)
+ 10 n – 9n – 1 = [( + 1) – 9n – 1] = – 9n = 9( – n) 27 (2)
vì 9 $ vdots $ 9 và $ underbrace{1…1}_{text{n}}$ – n $ vdots $ 3 do $ underbrace{1…1}_{text{n}}$ – n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a3 – a chia hết cho 3
b) a7 – a chia hết cho 7
Giải:
a) a3 – a = a(a2 – 1) = (a – 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a – 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7 – a = a(a6 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 – 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 – a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 – a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + …+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + … + 100
Giải:
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + …+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + … +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + … + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + … + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + … + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Bài tập về nhà
Chứng minh rằng:
a) a5 – a chia hết cho 5
b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
e) 20092010 không chia hết cho 2010
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 1:
Tìm số dư khi chia 2100
a) cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải:
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 – 1)33 = 2.[B(9) – 1] = B(9) – 2 = B(9) + 7
Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) – 1]10 = B(25) + 1
Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1
c) Sử dụng công thức Niutơn:
2100 = (5 – 1)50 = (550 – 5. 549 + … +$ frac{50.49}{2}$ . 52 – 50 . 5 ) + 1
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: $ frac{50.49}{2}$ . 52 – 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?
Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an.
Gọi $ text{S }=text{ }{{text{a}}_{text{1}}}^{3}+{{text{a}}_{2}}^{3}text{ + }{{text{a}}_{3}}^{3}text{ + }…text{+ }{{text{a}}_{text{n}}}^{3}$ = $ {{text{a}}_{text{1}}}^{3}+{{text{a}}_{2}}^{3}text{ + }{{text{a}}_{3}}^{3}text{ + }…text{+ }{{text{a}}_{text{n}}}^{3}$ + a – a
= (a1 3 – a1) + (a2 3 – a2) + …+ (an 3 – an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân
Giải:
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125
Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8
trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8
Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376
Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7
a) 2222 + 5555
b) 31993
c) 19921993 + 19941995
d) $ displaystyle {{text{3}}^{{{text{2}}^{text{1930}}}}}$
Giải:
a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55
= BS 7 + 1 + BS 7 – 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0
b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1
Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:
31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:
19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1
Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên
19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3
d) $ displaystyle {{text{3}}^{{{text{2}}^{text{1930}}}}}$ = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4
Bài tập về nhà
Tìm số dư khi:
a) 21994 cho 7
b) 31998 + 51998 cho 13
c) A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + … + 99
Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết
Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 – n
Giải:
Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 – 3n + 2 = (n + 3)(n2 – n) + 2
Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 – n = n(n – 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:
| n | 1 | – 1 | 2 | – 2 |
| n – 1 | 0 | – 2 | 1 | – 3 |
| n(n – 1) | 0 | 2 | 2 | 6 |
| loại | loại |
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức
B = n2 – n thì n ∈ {-1;2}
Bài 2:
a) Tìm n ∈ N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
b) Giải bài toán trên nếu n ∈ Z
Giải:
Ta có: n5 + 1 $ vdots $ n3 + 1 ⇔ n2(n3 + 1) – (n2 – 1) $ vdots $ n3 + 1 ⇔ (n + 1)(n – 1) $ vdots $ n3 + 1
⇔ (n + 1)(n – 1) $ vdots $ (n + 1)(n2 – n + 1) ⇔ n – 1 $ vdots $ n2 – n + 1 (Vì n + 1 ≠ 0)
a) Nếu n = 1 thì 0 $ vdots $ 1
Nếu n > 1 thì n – 1 < n(n – 1) + 1 < n2 – n + 1 nên không thể xảy ra n – 1 $ vdots $ n2 – n + 1
Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
b) n – 1 $ vdots $ n2 – n + 1 ⇒ n(n – 1) $ vdots $ n2 – n + 1 ⇔ (n2 – n + 1 ) – 1 $ vdots $ n2 – n + 1
⇒ 1 $ vdots $ n2 – n + 1. Có hai trường hợp xảy ra:
+ n2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 $ left[ begin{array}{l}text{n }=text{ }0text{ }text{n }=text{ 1}end{array} right.$ (Tm đề bài)
+ n2 – n + 1 = -1 ⇔ n2 – n + 2 = 0 (Vô nghiệm)
Bài tập về nhà:
Tìm số nguyên n để:
a) n3 – 2 chia hết cho n – 2
b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1
c)5n – 2n chia hết cho 63
Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết
Bài 1: Tìm n ∈ N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7
Giải:
Nếu n = 3k ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k – 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k ∈ N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3
Vậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n N để:
a) 3n – 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
c) 5n – 2n chia hết cho 9
Giải:
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n
= BS 25 + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3
Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9