A- ÔN TẬP VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các pp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng:
– Đặt nhân tử chung.
– Dùng hằng đẳng thức.
– Nhóm nhiều hạng tử.
– Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.
– Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).
– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.
II- BÀI TẬP
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. 36 – 12x + x2
b/. xy + xz + 3y + 3z
c/. x2 – 16 – 4xy + 4y2
d/. x2 – 5x – 14 (ĐS: 7; 2)
Nhắc lại: * Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử.
Ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x như sau:
+ Bước 1: Tìm tích ac.
+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.
+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b $ Rightarrow $ Hai thừa số đó chính là b1; b2 .
Ví dụ: ở câu d, trên b1 = 2; b2 = -7
x2 – 5x – 14 = x2 + 2x – 7x – 14 = x(x +2) – 7(x + 2) = (x + 2) (x – 7)
áp dụng:
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/. x2 + 2x – 15 (ĐS: 3; -5)
b/. 3x2 – 5x – 2 (ĐS: 1/3; 2)
c/. 2x2 – 6x + 4 (ĐS: 4; 2)
d/. x2 – x – 2004. 2005 (ĐS: 2004; 2005)
e/. 5x2 + 6xy + y2 (ĐS: 3y; 2y)
* Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử.
Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do).
Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:
F(x) = (x – a) P(x)
Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a .
Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử: F(x) = x3 – x2 – 4
Giải:
Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0
Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) $ vdots $ x – 2
Dùng sơ đồ Hoocne để tìm đa thức thương khi chia F(x) cho x – 2
| – 1 | -1 | 0 | – 4 | |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
Vậy F(x) = (x – 2)(x2 + x + 2)
Bài 4: Phân tích thành nhân tử: B = x3 – 5x2 + 3x + 9
(ĐS: (x + 1)(x – 3)2 )
Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì :
a/. (n + 2)2 – (n – 2)2 chia hết cho 8
b/. n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho 6.
Bài 6 (khuyến khích) Dùng pp thêm bớt để phân tích:
a/. x7 + x5 + 1 = x7 + x6 –x6 + x5 +1 = … = (x2 + x + 1)(x5 +x4 – x3 – 1) = …=
= (x + 1)2(x – 1)(x3 + x2 + x – 1)
b/. x11 + x + 1 = x11 – x2 + x2 + x + 1 = x2(x9 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x9 – x8 + x6 – x5 + x3 – x2 + 1)
B- MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TOÁN
I – Chứng minh quan hệ chia hết
Bài 1: Chứng minh A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n $ vdots $ 24 với mọi n $ in $ N
Giải:
Phân tích thành nhân tử A = n(n3 + 6n2 +11n + 6)
Dùng pp nhẩm ngiệm để phân tích n3 + 6n2 +11n + 6 thành nhân tử
A = n(n + 1)( n2 +5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n+ 3)
Đây là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Trong 4 số nguyên liên tiếp n; n + 1; n + 2;
n + 3 luôn có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 4 $ Rightarrow $ A$ vdots $ 8
Mặt khác, trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên A$ vdots $ 3
Mà ƯCLN(3; 8) = 1 nên A $ vdots $ 3.8 hay A$ vdots $ 24 .
Bài 2: Chứng minh rằng: A = 2222 + 5555 $ vdots $ 7
Giải:
Cách 1: A = (2222 – 122) + (5555 + 155)
= (22 – 1)(2221 + 2220 + … + 1 )(55 + 1)(5554 – 5553 + … + 1)$ $
M N
= 21M + 56 N
Mà 21M $ vdots $ 7 ; 56N $ vdots $ 7 $ Rightarrow $ A$ vdots $ 7
Cách 2: Dùng đồng dư:
Ta đã biết : $ left. begin{array}{l}56equiv 0(bmod 7)1equiv 1(bmod 7)end{array} right}Rightarrow 55equiv -1(bmod 7)$
Mặt khác $ left. begin{array}{l}22equiv 1(bmod 7)55equiv -1(bmod 7)end{array} right}Rightarrow {{22}^{{22}}}+{{55}^{{55}}}equiv 0(bmod 7)$
Hay 2222 + 5555 $ vdots $ 7
Bài 3: Chứng minh rằng A = a3 + b3 + c3 – 3abc chia hết cho a + b + c
Giải:
áp dụng hằng đẳng thức: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
⇒ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b). Thay biểu thức này vào A ta được :
A = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= [ ( a + b)3 + c3 ] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [ (a + b)2 – (a + b)c + c2– 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Ta thấy đa thức này chứa một nhân tử là a + b + c ⇒ A chia hết cho a + b + c
II – Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức
Bài 4: Tìm ĐKXĐ sau đó rút gọn phân thức sau:
A = $ frac{{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-2x+24}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-10x-8}}$
Giải:
*Phân tích mẫu của A thành nhân tử:
x3 – x2 – 10x – 8 = (x + 1)(x + 2)(x – 4)
Vậy ĐKXĐ: x $ ne $ – 1; x $ ne $ – 2; x $ ne $ 4
*Phân tích thành nhân tử:
x3 – 5x2 – 2x + 24 = (x + 2)(x – 3)(x – 4)
Rút gọn A = $ frac{{(x+2)(x-3)(x-4)}}{{(x+2)(x+1)(x-4)}}=frac{{x-3}}{{x+1}}$
Bài 5: Tìm điều kiện xác định sau đó rút gọn phân thức sau:
A = $ frac{{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$
Giải:
B = $ frac{{{{x}^{2}}(x-3)-(x-3)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$ = $ frac{{(x-3)(x-1)(x+1)}}{{{{x}^{2}}(x-1)}}$
ĐKXĐ: x$ ne $ 1
Rút gọn: B = $ frac{{(x-3)(x+1)}}{{{{x}^{2}}}}$
Bài 6: Chứng minh A = n3 + 6n2 + 8n $ vdots $ 24 với mọi n $ in $ N chẵn.
Giải:
A = n(n + 2)(n + 4)
Thay n=2k $ vdots $ A=8k (k+1)(k+2)
Mà k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp ⇒ $ vdots $ 3
ƯCLN (8,3) = 1 ⇒ A $ vdots $ 24
Bài 7: cho a+b+c = 0 chứng minh a3 +b3+c3 = 3abc
Giải:
Từ KQ bài 3 trên , nếu a+ b+ c = 0
⇒ a3 +b3+c3 – 3abc = 0
⇒ a3 +b3+c3 = 3abc
Bài 8: Rút gọn các phân thức:
a/. $ frac{{{{{left( {2x+3} right)}}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{{x}^{2}}-1}}$
(ĐS: $ frac{{3left( {x+3} right)}}{{x-1}}$ )
b/. $ frac{{{{{left( {3x+2} right)}}^{2}}-{{{(x+2)}}^{2}}}}{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}$
(ĐS : $ frac{{8left( {x+1} right)}}{{x(x-1)}}$ )
III – Giải phương trình, bất phương trình
Bài 9: (Bài 1 – đề thi cấp 3 năm 2007)
1/. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = b + by + y + 1
2/. Giải phương trình: x2 – 3x + 2 = 0
Bài 10: Giải phương trình: (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192
Giải:
Biến đổi phương trình đã cho được: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
⇔(x + 1)2(x – 1) (x + 3) = 192
⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x – 3) = 192
Đặt x2 + 2x – 1 = y
Phương trình đã cho thành: (y + 2) (y – 2) = 192 ⇒ y = ± 14
Với y = 14 giải ra x = 3 hoặc x =- 5
Với y = – 14 giải ra vô nghiệm.
Vậy S = {3;-5}
Bài 11: Giải bất phương trình sau: x2 – 2x – 8 < 0
Giải:
Biến đổi bất phương trình đã cho về bất phương trình tích:
x2 – 2x – 8 < 0 ⇔ x2 – 4x + 2x – 8 < 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) < 0
Lập bảng xét dấu:
| x | – 2 | 4 | |||
| x + 2 | – | 0 | + | + | |
| x – 4 | – | – | 0 | + | |
| (x+2)(x- 4) | + | 0 | – | 0 | + |
Vậy nghiệm của bất phương trình là: – 2 < x < 4 .
Bài tập về nhà: Làm bài 80 – 88(42, 43) ÔTĐ8.