Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Phú Thọ năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.
Câu1:
1, Giải phương trình nghiệm nguyên:
$ displaystyle 8{{x}^{2}}-3text{x}y-5y=25$
2,Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A= $ displaystyle n{{.4}^{n}}+{{3}^{n}}vdots 7$
Câu 2:
1, Rút gọn biểu thức: A= $ displaystyle sqrt{frac{2sqrt{10}+sqrt{30}-2sqrt{2}-sqrt{6}}{2sqrt{10}-2sqrt{2}}}:frac{2}{sqrt{3}-1}$
2, Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: $ displaystyle frac{{{x}^{2}}-yz}{a}=frac{{{y}^{2}}-ztext{x}}{b}=frac{{{z}^{2}}-xy}{c}$ .
Chứng minh rằng: $ displaystyle frac{{{a}^{2}}-bc}{x}=frac{{{b}^{2}}-ca}{y}=frac{{{c}^{2}}-ab}{z}$
Câu3:
1, Cho phương trình: $ displaystyle {{x}^{2}}-6text{x}-m=0$ (Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: $ displaystyle {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=12$
2, Giải hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}8{{text{x}}^{3}}{{y}^{3}}+27=18{{y}^{3}}4{{text{x}}^{2}}y+6text{x}={{y}^{2}}end{array} right.$
Câu 4:
1, Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.
a, CMR: $ displaystyle H{{A}^{2}}+H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}+H{{text{D}}^{2}}$ không đổi.
b, CMR : là tứ giác nội tiếp.
2, Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR: $ displaystyle {{S}_{ABCtext{D}}}$ ≤ $ displaystyle ACfrac{MN+NP+PQ+QM}{4}$
Câu 5: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: $ displaystyle frac{ab}{a+3b+2c}+frac{bc}{b+3c+2text{a}}+frac{ca}{c+3a+2b}le frac{a+b+c}{6}$