Toán cấp 2 chia sẻ một số bài tập chuyên đề Rút gọn có đáp án thuộc chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh ôn tập cũng cố kiến thức chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng.
*Chú ý: Các em có thể hỏi nhau những bài nào chưa hiểu ở phần comment bài viết.
| Bài 1 (2016)
Cho $ A=frac{7}{sqrt{x}+8}$ và $ B=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-3}+frac{2sqrt{x}-24}{x-9}$ với $ xge 0;,,,xne 9$ 1) Tính giá trị của A khi $ displaystyle x=25$ 2) CMR: $ B=frac{sqrt{x}+8}{sqrt{x}+3}$ 3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên. |
Giải:
1)
- Ta thấy $ displaystyle x=25$ thoả mãn điều kiện $ xge 0;,,,xne 9$.
- Thay $ displaystyle x=25$ vào A ta được: $ A=frac{7}{sqrt{25}+8}=frac{7}{5+8}=frac{7}{13}$.
- Vậy khi $ displaystyle x=25$ thì $ A=frac{7}{13}$
2) $ begin{array}{l}2),,,B=frac{sqrt{x}left( sqrt{x}+3 right)+2sqrt{x}-24}{left( sqrt{x}-3 right)left( sqrt{x}+3 right)},,=frac{x+5sqrt{x}-24}{left( sqrt{x}-3 right)left( sqrt{x}+3 right)},,,,,,,,,,,,,=frac{left( sqrt{x}+8 right)left( sqrt{x}-3 right)}{left( sqrt{x}-3 right)left( sqrt{x}+3 right)}=frac{sqrt{x}+8}{sqrt{x}+3}end{array}$
Vậy $ B=frac{sqrt{x}+8}{sqrt{x}+3},, & ,,;,,,,xge 0,,;,,xne 9$
$ Rightarrow $ ĐPCM
3) ĐK: $ xge 0;,,,xne 9$ (*), ta có: $ P=A.B=frac{7}{sqrt{x}+8}.frac{sqrt{x}+8}{sqrt{x}+3}=frac{7}{sqrt{x}+3}>0,,,,,,forall xge 0,,,xne 9$
+) Vì $ xge 0$ nên $ sqrt{x}ge 0Rightarrow sqrt{x}+3ge 3Rightarrow frac{7}{sqrt{x}+3}le frac{7}{3}$
+) Do đó: $ 0<Ple frac{7}{3},,,forall xge 0,,,,xne 9$.
+) Vậy $ Pnotin mathbb{Z}Leftrightarrow Pin left{ 1,;,,,2 right}$
- TH1: $ P=1Leftrightarrow frac{7}{sqrt{x}+3}=1Leftrightarrow 7=sqrt{x}+3Leftrightarrow sqrt{x}=4Leftrightarrow x=16$ (thoả mãn ĐK *)
- TH2: $ P=2Leftrightarrow frac{7}{sqrt{x}+3}=2Leftrightarrow 7=2sqrt{x}+6Leftrightarrow sqrt{x}=frac{1}{2}Leftrightarrow x=frac{1}{4}$ (thoả mãn ĐK *)
Vậy P nguyên $ displaystyle Leftrightarrow xin left{ 16;,,frac{1}{4} right}$
| Bài 2 (2015)
Cho $ P=frac{x+3}{sqrt{x}-2}$ và $ Q=frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+2}+frac{5sqrt{x}-2}{x-4}$ với $ x>0,,,,xne 4$. 1) Tính giá trị của P khi $ x=9$ 2) Rút gọn Q 3) Tìm x để $ displaystyle frac{P}{Q}$ đạt GTNN |
Giải:
1)
- Ta thấy $ displaystyle x=9$ thoả mãn điều kiện $ x>0,,,,xne 4$.
- Thay $ displaystyle x=9$ vào P ta được: $ P=frac{9+3}{sqrt{9}-2}=frac{12}{3-2}=12$.
- Vậy khi $ displaystyle x=9$ thì $ P=12$
2) $ begin{array}{l},Q=frac{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}-2 right)+5sqrt{x}-2}{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-2 right)},,=frac{{{left( sqrt{x} right)}^{2}}-3sqrt{x}+2+5sqrt{x}-2}{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-2 right)},,,,,,,,,,,,,=frac{{{left( sqrt{x} right)}^{2}}+2sqrt{x}}{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-2 right)}=frac{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-2 right)},,,,,,,,,,,,,=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-2}end{array}$
Vậy $ Q=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-2} & ,,;,,,,x>0,,;,,xne 4$
$ Rightarrow $ ĐPCM
3) ĐK: $ x>0,,,,xne 4$ (*)
$ frac{P}{Q}=frac{x+3}{sqrt{x}-2}.frac{sqrt{x}-2}{sqrt{x}}=frac{x+3}{sqrt{x}}=sqrt{x}+frac{3}{sqrt{x}}$
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: $ sqrt{x},,vgrave{a},,frac{3}{sqrt{x}}$, ta có:
$ displaystyle begin{array}{l}sqrt{x}+frac{3}{sqrt{x}}ge 2sqrt{sqrt{x}.frac{3}{sqrt{x}}}=2sqrt{3}Rightarrow frac{P}{Q}ge 2sqrt{3},,;,,,forall x>0,,,,xne 4end{array}$
+) $ frac{P}{Q}=2sqrt{3}Leftrightarrow $dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra $ Leftrightarrow sqrt{x}=frac{3}{sqrt{x}}Leftrightarrow {{left( sqrt{x} right)}^{2}}=3Leftrightarrow x=3$(tmđk*)
Vậy $ x=3$ thì $ displaystyle frac{P}{Q}$ đạt GTNN
| Bài 3 (2015)
1) Tính giá trị của $ A=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}$ khi $ displaystyle x=9$. 2) Cho $ P=left( frac{x-2}{x+2sqrt{x}}+frac{1}{sqrt{x}+2} right).frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1}$ với $ x>0,,,,xne 1$ a) CMR: $ P-frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$ b) Tìm x sao cho: $ 2P=2sqrt{x}+5$ |
Giải:
1) +) A xđ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0sqrt{x}-1ne 0end{array} right.Leftrightarrow xge 0,,,,xne 1$
+) Ta thấy khi $ displaystyle x=9$ thoả mãn điều kiện: $ xge 0,,,,xne 1$
+) Thay $ displaystyle x=9$vào A, ta được:
$ A=frac{sqrt{9}+1}{sqrt{9}-1}=frac{3+1}{3-1}=frac{4}{2}=2$
+) Vậy khi $ displaystyle x=9$ thì $ A=2$
2) $ begin{array}{l}P=frac{x-2+sqrt{x}}{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1},,=frac{{{sqrt{x}}^{2}}+sqrt{x}-2}{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1},,,,,,,,,,,,,,=frac{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1},,=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}end{array}$
Vậy $ P==frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}},,;,,,,xge 0,,,,xne 1$ $ Rightarrow $ ĐPCM
3) ĐK: $ xge 0,,,,xne 1$ (*)
$ displaystyle begin{array}{l}2P=2sqrt{x}+5Leftrightarrow 2.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}=2sqrt{x}+5Leftrightarrow 2sqrt{x}+2=2{{sqrt{x}}^{2}}+5sqrt{x}Leftrightarrow 2{{sqrt{x}}^{2}}+3sqrt{x}-2=0Leftrightarrow 2left( sqrt{x}-frac{1}{2} right)left( sqrt{x}+2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}-frac{1}{2}=0sqrt{x}+2=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}=frac{1}{2}sqrt{x}=-2,,,left( VN right)end{array} right.Leftrightarrow x=frac{1}{4},,,,,,,,,,,,,,,,,,left( tmk* right)end{array}$
Vậy $ displaystyle x=frac{1}{4},$ thì $ 2P=2sqrt{x}+5$
| Bài 4 (2013)
Với $ x>0$ , cho $ A=frac{2+sqrt{x}}{sqrt{x}},,;,,,B=frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}}+frac{2sqrt{x}+1}{x+sqrt{x}}$ 1) Tính giá trị của A khi $ x=64$ . 2) Rút gọn B 3) Tìm x, để $ frac{A}{B}>frac{3}{2}$ |
Giải:
1) +) $ x=64$ thoả mãn điều kiện: $ x>0$
+) Thay $ x=64$vào A, ta được:
$ A=frac{2+sqrt{64}}{sqrt{64}}=frac{2+8}{8}=frac{5}{4}$
+) Vậy khi $ x=64$ thì $ A=frac{5}{4}$
2) $ displaystyle begin{array}{l}B=frac{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x+1} right)+2sqrt{x}+1}{sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)},,,,,,,,,,,,=frac{{{sqrt{x}}^{2}}-1+2sqrt{x}+1}{sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)}=frac{{{sqrt{x}}^{2}}+2sqrt{x}}{sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)},,,,,,,,,,,,=,frac{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)}{sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)}=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}end{array}$
Vậy: $ displaystyle B=frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1};,,,x>0$
3) ĐK: $ x>0$ (*)
$ displaystyle begin{array}{l}frac{A}{B}>frac{3}{2}Leftrightarrow frac{2+sqrt{x}}{sqrt{x}}.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2}>frac{3}{2},,,,,,,,,,,,,,,Leftrightarrow frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}>frac{3}{2}end{array}$
(Nhân cả hai vế với $ 2sqrt{x}>0$)
$ begin{array}{l}Leftrightarrow 2left( sqrt{x}+1 right)>3sqrt{x}Leftrightarrow sqrt{x}<2Leftrightarrow x<4end{array}$
Kết hợp với (*) ta được: $ 0<x<4$ thì $ frac{A}{B}>frac{3}{2}$
| Bài 5 (2012)
1) Cho $ A=frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}$ . Tính giá trị của A khi $ x=36$ . 2) Rút gọn $ B=left( frac{sqrt{x}}{sqrt{x}+4}+frac{4}{sqrt{x}-4} right):frac{x+16}{sqrt{x}+2}$ với $ x>0,,,,,xne 16$. 3) Tìm x nguyên để $ B.left( A-1 right)$ là số nguyên. |
Giải:
1) +) A xđ $ Leftrightarrow xge 0$ .
+) Ta thấy $ x=36$ thoả mãn điều kiện $ xge 0$
+) Thay $ x=36$ vào A ta được:
$ A=frac{sqrt{36}+4}{sqrt{36}+2}=frac{6+4}{6+2}=frac{10}{8}=frac{5}{4}$
+) Vậy khi $ x=36$ thì $ A=frac{5}{4}$
2) $ displaystyle B=frac{sqrt{x}left( sqrt{x}-4 right)+4left( sqrt{x}+4 right)}{left( sqrt{x}+4 right)left( sqrt{x}-4 right)}.frac{sqrt{x}+2}{x+16}$
$ begin{array}{l}=frac{{{sqrt{x}}^{2}}-4sqrt{x}+4sqrt{x}+16}{x-16}.frac{sqrt{x}+2}{x-16}=frac{left( x+16 right)left( sqrt{x}+2 right)}{left( x-16 right)left( x+16 right)}=frac{sqrt{x}+2}{x-16}end{array}$
Vậy: $ B=frac{sqrt{x}+2}{x-16};,,x>0,,,xne 16$
3) +) ĐK: $ x>0,,,,xne 16$
+) $ B.left( A-1 right)=frac{sqrt{x}+2}{x-16}.left( frac{sqrt{x}+4}{sqrt{x}+2}-1 right)$
$ =frac{sqrt{x}+2}{x-16}.frac{sqrt{x}+4-sqrt{x}-2}{sqrt{x}+2}=frac{2}{x-16}$
$ B.left( A-1 right)in mathbb{Z}Leftrightarrow frac{2}{x-16}in mathbb{Z}$ ⇔ $ x-16in $ $ left{ pm 1,,;,,pm 2 right}$ (Vì khi $ xin mathbb{Z}$ thì $ x-16in mathbb{Z}$)
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x-16=-1x-16=1x-16=-2x-16=2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=15x=17x=14x=18end{array} right.$ tất cả đều thoả mãn điều kiện: $ x>0,,,,,xne 16$
Vậy $ xin left{ 14,;,,15,;,,17,;,,18 right}$ là các giá trị nguyên của x để $ B.left( A-1 right)$ nhận giá trị nguyên.
| Bài 6 (2011)
Cho $ A=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-5}-frac{10sqrt{x}}{x-25}-frac{5}{sqrt{x}+5}$ với $ xge 0,,,,xne 25$ 1) Rút gọn A. 2) Tính giá trị của A khi $ x=9$ 3) Tìm x để $ A<frac{1}{3}$ |
Giải:
1) +) $ A=frac{sqrt{x}left( sqrt{x+5} right)-10sqrt{x}-5left( sqrt{x}-5 right)}{left( sqrt{x}-5 right)left( sqrt{x}+5 right)}$
$ displaystyle begin{array}{l}=frac{{{sqrt{x}}^{2}}-10sqrt{x}+25}{left( sqrt{x}-5 right)left( sqrt{x}+5 right)}=frac{{{left( sqrt{x}-5 right)}^{2}}}{left( sqrt{x}-5 right)left( sqrt{x}+5 right)}=frac{sqrt{x}-5}{sqrt{x}+5}end{array}$
Vậy: $ A=frac{sqrt{x}-5}{sqrt{x}+5};,,xge 0,;,,xne 25$
2) +) Ta thấy $ x=9$ thoả mãn điều kiện: $ xge 0,,,,xne 25$
+) Thay $ x=9$ vào A, ta được:
$ A=frac{sqrt{9}-5}{sqrt{9}+5}=frac{3-5}{3+5}=frac{-2}{8}=frac{-1}{4}$
Vậy khi $ x=9$ thì $ A=frac{-1}{4}$
3) +) ĐK: $ xge 0,,,,xne 25$ (*)
+) $ A<frac{1}{3}Leftrightarrow frac{sqrt{x}-5}{sqrt{x}+5}<frac{1}{3}$
(Nhân cả 2 vế với $ 3left( sqrt{x}+5 right)>0$)
$ displaystyle begin{array}{l}Leftrightarrow 3left( sqrt{x}-5 right)<sqrt{x}+5Leftrightarrow 2sqrt{x},,,,,,,,,,,<,,20Leftrightarrow ,,,,,,sqrt{x},,,,,,,,,<10Leftrightarrow ,,,,,,,,,x,,,,,,,,,,<100end{array}$
Kết hợp điều kiện (*), ta có: $ left{ begin{array}{l}0le x<100xne 25end{array} right.$ thì $ A<frac{1}{3}$
| Bài 7:
Cho $ M=frac{sqrt{x}+2}{x+2sqrt{x}+1}-frac{sqrt{x}-2}{x-1}$ và $ N=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$ với $ x>0,,,,xne 1$ 1) Tính giá trị của N khi x = 25 2) Rút gọn S = M.N 3) Tìm x để $ S<-1$ |
Giải:
1) +) Ta thấy $ x=25$ thoả mãn đk: $ x>0,,,,xne 1$
2) +) $ M=frac{sqrt{2}+2}{{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}}-frac{sqrt{x}-2}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}$
$ displaystyle begin{array}{l}=frac{left( sqrt{x}+2 right)left( sqrt{x}-1 right)-left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+1 right)}{{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}.left( sqrt{x}-1 right)}=frac{left( x+sqrt{x}-2 right)-left( x-sqrt{x}-2 right)}{{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}.left( sqrt{x}-1 right)}=frac{2sqrt{x}}{{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}.left( sqrt{x}-1 right)}end{array}$
+) $ S=M.N=frac{2sqrt{x}}{{{left( sqrt{x}+1 right)}^{2}}.left( sqrt{x}-1 right)}.frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}}$
$ =frac{2}{left( sqrt{x}+1 right)left( sqrt{x}-1 right)}=frac{2}{x-1}$
Vậy: $ S=frac{2}{x-1};,,x>0,,,xne 1$.
3) +) ĐK: $ x>0,,,,xne 1$ (*)
+) $ S<-1Leftrightarrow frac{2}{x-1}<-1$
$ begin{array}{l}Leftrightarrow frac{2}{x-1}+1<0Leftrightarrow frac{2+x-1}{x-1}<0Leftrightarrow frac{x+1}{x-1}<0end{array}$
Vì: $ x+1>1>0,,,forall x>0$ nên: $ frac{x+1}{x-1}<0Leftrightarrow x-1<0Leftrightarrow x<1$
+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: $ 0<x<1$ thì $ S<-1$
| Bài 8:
Cho $ A=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+frac{1}{sqrt{x}+2}-frac{3sqrt{x}}{x+sqrt{x}-2}$ và $ B=frac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+1}$ với $ xge 0,,,xne 1$. 1) Tính giá trị của B khi $ x=36$ 2) Rút gọn A. 3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất |
Giải:
1) +) Ta thấy $ x=36$ thoả mãn ĐK: $ xge 0,,,xne 1$
+) Thay $ x=36$ vào B ta được: $ B=frac{sqrt{36}+3}{sqrt{36}+1}=frac{6+3}{6+1}=frac{9}{7}$
+) Vậy khi $ x=36$thì $ B=frac{9}{7}$
2) +) $ A=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+frac{1}{sqrt{x}+2}-frac{3sqrt{x}}{left( sqrt{x-1} right)left( sqrt{x}+2 right)}$
$ begin{array}{l}=frac{sqrt{x}left( sqrt{x}+2 right)+left( sqrt{x}-1 right)-3sqrt{x}}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}=frac{{{sqrt{x}}^{2}}-1}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}=frac{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+1 right)}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+2 right)}=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2}end{array}$
Vậy $ A==frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2};,,xge 0,,,xne 1$
3) +) ĐK: $ xge 0,,,xne 1$
$ +),,S=A.B=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2}.frac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+1},=frac{sqrt{x}+3}{sqrt{x}+2}=1+frac{1}{sqrt{x}+2}$
$ begin{array}{l}bullet ),,forall xge 0,,,xne 1:,,,sqrt{x}ge 0Rightarrow sqrt{x}+2ge 0,,Rightarrow frac{1}{sqrt{x}+2}le frac{1}{2},Rightarrow 1+frac{1}{sqrt{x}+2}le 1+frac{1}{2}=frac{3}{2}end{array}$
$ displaystyle begin{array}{l}bullet ),,S=frac{3}{2}Leftrightarrow 1+frac{1}{sqrt{x}+2}=frac{3}{2}Leftrightarrow frac{1}{sqrt{x}+2}=frac{1}{2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Leftrightarrow sqrt{x}+2=2Leftrightarrow sqrt{x}=0Leftrightarrow x=0end{array}$
$ bullet ),,,x=0$ thoả mãn đk: $ xge 0,,,xne 1$
Vậy $ x=0$ thì S = A.B đạt GTLN
$ Leftrightarrow 6>sqrt{a}+2Leftrightarrow sqrt{a}<4Leftrightarrow a<16$
| Bài 9: Cho $ A=left( frac{1}{sqrt{a}+2}+frac{1}{sqrt{a}-2} right).frac{sqrt{a}-2}{sqrt{a}}$
1) Rút gọn A 2) Tìm a để $ displaystyle A>frac{1}{3}$ 3) Tìm a để $ B=frac{9}{4}A$ nhận giá trị nguyên. |
Giải:
1) +) A xác định $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}age 0sqrt{a}ne 0sqrt{a}ne 2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a>0ane 4end{array} right.,,,,,,,,,,,,,,,,left( * right)$
+) $ A=frac{left( sqrt{a}-2 right)+left( sqrt{a}+2 right)}{left( sqrt{a}+2 right)left( sqrt{a}-2 right)}.frac{sqrt{a}-2}{sqrt{a}}$ = $ frac{2sqrt{a}.left( sqrt{a}-2 right)}{left( sqrt{a}+2 right)left( sqrt{a}-2 right).sqrt{a}}=frac{2}{sqrt{a}+2}$
Vậy với $ A=frac{2}{sqrt{a}+2}$ với $ a>0,,,,ane 4$
2) +) ĐK: $ a>0,,,,ane 4$
+) $ A>frac{1}{3}Leftrightarrow frac{2}{sqrt{a}+2}>frac{1}{3}$ (nhân cả hai vế với $ 3left( sqrt{a}+2 right)>0$)
$ Leftrightarrow 6>sqrt{a}+2Leftrightarrow sqrt{a}<4Leftrightarrow a<16$
+) Kết hợp đk $ a>0,,,,ane 4$ ta được: $ 0<a<16,,,,ane 4$
3) +) ĐK: $ a>0,,,,ane 4$
+) $ B=frac{9}{4}A=frac{9}{4}.frac{2}{sqrt{a}+2}=frac{9}{2left( sqrt{a}+2 right)}$
- Dễ thấy: $ B>0;,,forall a>0,,,ane 4$
- $ forall a>0,,,,ane 4$
$ sqrt{a}>0Rightarrow sqrt{a}+2>2,Rightarrow 2left( sqrt{a}+2 right)>4,Rightarrow frac{9}{2left( sqrt{a}+2 right)}<frac{9}{4}=2,25$
- Vậy: $ 0<B<2,25;,,forall a>0,,,,ane 4$
Do đó: $ Bin mathbb{Z}Leftrightarrow Bin left{ 1,,;,,2 right}$
-) TH1: $ displaystyle B=1Leftrightarrow frac{9}{2left( sqrt{a}+2 right)}=1Leftrightarrow 9=2sqrt{a}+4Leftrightarrow sqrt{a}=frac{5}{2}Leftrightarrow a=frac{25}{4}$ (thoả mãn đk *)
-) TH2: $ B=2Leftrightarrow frac{9}{2left( sqrt{a}+2 right)}=2Leftrightarrow 9=4sqrt{a}+8Leftrightarrow sqrt{a}=frac{1}{4}Leftrightarrow a=frac{1}{16}$ (thoả mãn đk *)
Vây: $ ain left{ frac{1}{16};,,frac{25}{4} right}$ thì $ Bin mathbb{Z}$
| Bài 10: Cho $ A=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+5}$ và $ B=frac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+frac{3}{sqrt{x}+1}+frac{4-6sqrt{x}}{x-1}$ với $ xge 0,,,,xne 1$
1) Tính giá trị của A khi $ displaystyle x=9-4sqrt{5}$ 2) Rút gọn B 3) Tìm GTNN của S = A.B |
Giải:
1) +) Ta thấy $ x=9-4sqrt{5}={{sqrt{5}}^{2}}-2.2.sqrt{5}+{{2}^{2}}={{left( sqrt{5}-2 right)}^{2}}$ (thoả mãn Đk: $ xge 0,,,,xne 1$)
+) Thay $ displaystyle x={{left( sqrt{5}-2 right)}^{2}}$ hay $ sqrt{x}=left| sqrt{5}-2 right|=sqrt{5}-2$ vào A, ta được:
$ displaystyle A=frac{left( sqrt{5}-2 right)+1}{left( sqrt{5}-2 right)+5}=frac{sqrt{5}-1}{sqrt{5}+3}=frac{left( sqrt{5}-1 right)left( sqrt{5}-3 right)}{{{sqrt{5}}^{2}}-{{3}^{2}}}=frac{8-4sqrt{5}}{-4}=sqrt{5}-2$
Vậy: $ A=sqrt{5}-2$ khi $ displaystyle x=9-4sqrt{5}$
2) +) $ B=frac{sqrt{x}left( sqrt{x}+1 right)+3left( sqrt{x}-1 right)+4-6sqrt{x}}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+1 right)}$
$ begin{array}{l},,,,,=frac{{{sqrt{x}}^{2}}-2sqrt{x}+1}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+1 right)}=frac{{{left( sqrt{x}-1 right)}^{2}}}{left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}+1 right)},,,,,=frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1}end{array}$
Vậy: $ B=frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1};,,,xge 0,,,xne 1$
3) +) ĐK: $ xge 0,,,xne 1$
+) $ S=A.B=frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+5}.frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1}=frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+5}=frac{sqrt{x}+5-6}{sqrt{x}+5}=1-frac{6}{sqrt{x}+5}$
$ displaystyle begin{array}{l}bullet ),,forall xge 0,,,,xne 1:,,,,,,sqrt{x}ge 0Rightarrow sqrt{x}+5ge 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Rightarrow frac{6}{sqrt{x}+5}le frac{6}{5},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Rightarrow frac{-6}{sqrt{x}+5}ge frac{-6}{5},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Rightarrow 1-frac{6}{sqrt{x}+5}ge 1-frac{6}{5}=frac{-1}{5}end{array}$
$ bullet )$ Ta thấy $ sqrt{x}=0$ hay $ x=0$ thì $ S=frac{-1}{5}$
Vậy GTNN của S là $ frac{-1}{5}$
| Bài 11: Tìm $ xin mathbb{Z}$ để $ P=frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}in mathbb{Z}$ |
Giải:
* Cách 1:
- Đk: $ xge 0$
- TH1: $ x=0Rightarrow P=0in mathbb{Z}$$ Rightarrow $ nhận $ x=0$
- TH2: $ x>0$
+) Dễ thấy: $ P>0,,,,forall x>0$
+) $ P=frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}<frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}}=3$
+) Vậy: $ 0<P<3$
Do đó: $ Pin mathbb{Z}Leftrightarrow Pin left{ 1;,,2 right}$
-) $ P=1Leftrightarrow frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}=1Leftrightarrow 3sqrt{x}=sqrt{x}+1Leftrightarrow sqrt{x}=frac{1}{2}Leftrightarrow x=frac{1}{4}$ (loại vì $ frac{1}{4}notin mathbb{Z}$ )
-) $ displaystyle P=2Leftrightarrow frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}=2Leftrightarrow 3sqrt{x}=2sqrt{x}+2Leftrightarrow sqrt{x}=2Leftrightarrow x=4$ (nhận)
- KL: $ xin left{ 0;,,4 right}$ thì $ Pin mathbb{Z}$
*) Cách 2: Với $ xin mathbb{Z}$ ta chia 2 trường hợp sau:
- TH1: x là số chính phương $ Rightarrow sqrt{x}in mathbb{Z}$ : $ displaystyle P=frac{3sqrt{x}}{sqrt{x}+1}=3-frac{3}{sqrt{x}+1}$
Vì $ sqrt{x}+1in mathbb{Z}$ nên: $ Pin mathbb{Z}Leftrightarrow sqrt{x}+1in $ Ư(3)
$ begin{array}{l}Leftrightarrow sqrt{x}+1in left{ pm 1,;,,pm 3 right}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}+1=-1sqrt{x}+1=1sqrt{x}+1=3sqrt{x}+1=-3end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}=-2sqrt{x}=0sqrt{x}=2sqrt{x}=-4end{array} right.end{array}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}=0sqrt{x}=2end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0x=4end{array} right.$ (đều là các số chính phương)
- TH2: x không là số chính phương
$ Rightarrow sqrt{x}$ là số vô tỉ $ Rightarrow sqrt{x}+1$ là số vô tỉ
$ Rightarrow frac{-3}{sqrt{x}+1}$ là số vô tỉ
$ Rightarrow 3-frac{3}{sqrt{x}+1}$là số vô tỉ
$ Rightarrow Pnotin mathbb{Z}$
Vậy: $ xin mathbb{Z}$ để $ Pin mathbb{Z}$ là $ xin left{ 0,;,,4 right}$
| Bài 12: Tìm $ xge 0,,,xne 4$ sao cho: $ frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}=2sqrt{x}-frac{8}{3}$ |
Giải:
- ĐK: $ xge 0,,,xne 4$ (*)
- $ frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+1}=2sqrt{x}-frac{8}{3}$
$ displaystyle begin{array}{l}Leftrightarrow sqrt{x}+2=left( sqrt{x}+1 right)left( 2sqrt{x}-frac{8}{3} right)Leftrightarrow 3left( sqrt{x}+2 right)=left( sqrt{x}+1 right)left( 6sqrt{x}-8 right)Leftrightarrow 3sqrt{x}+6=6x-2sqrt{x}-8Leftrightarrow 6{{sqrt{x}}^{2}}-5sqrt{x}-14=0Leftrightarrow 6left( sqrt{x}-2 right)left( sqrt{x}+frac{7}{6} right)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}-2=0sqrt{x}+frac{7}{6}=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sqrt{x}=2sqrt{x}=frac{-7}{6}<0end{array} right.end{array}$
$ displaystyle Leftrightarrow sqrt{x}=2Leftrightarrow x=4$ (không thoả mãn đk (*))
- Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán
| Bài 13: Tìm GTNN của $ P=frac{x-3sqrt{x}-2}{sqrt{x}+1}$ |
Giải:
- ĐK: $ xge 0$
- Đặt $ a=sqrt{x}+1ge 1$
+) $ sqrt{x}=a-1$
+) $ P=frac{{{left( a-1 right)}^{2}}-3left( a-1 right)-2}{a}$
$ begin{array}{l}=frac{{{a}^{2}}-2a+1-3a+3-2}{a}=frac{{{a}^{2}}-5a+2}{a}=left( a+frac{2}{a} right)-5end{array}$
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và $ frac{2}{a}$, ta có:
$ displaystyle a+frac{2}{a}ge 2sqrt{a.frac{2}{a}}=2sqrt{2}Rightarrow Pge 2sqrt{2}-5$
+) Ta thấy khi $ a=frac{2}{a}$ tức là $ a=sqrt{2}$ thì $ P=2sqrt{2}-5$
- Vậy GTNN của $ P=2sqrt{2}-5$