A – LÝ THUYẾT
I . Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai:
| · Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: | $ displaystyle sqrt{{{{A}^{2}}B}}=left| A right|sqrt{B}$ (B ≥ 0) |
| · Đưa thừa số vào trong dấu căn: | $ displaystyle Asqrt{B}=sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A ≥ 0 và B ≥ 0) |
| $ displaystyle Asqrt{B}=-sqrt{{{{A}^{2}}B}}$ (với A < 0 và B ≥ 0) | |
| · Khử mẫu của biểu thức lấy căn: | $ displaystyle sqrt{{frac{{AB}}{{{{B}^{2}}}}}}=frac{{sqrt{{AB}}}}{{left| B right|}}$ (với AB ≥ 0, B ≠ 0) |
| · Trục căn thức ở mẫu: | $ displaystyle frac{M}{{sqrt{A}}}=frac{{Msqrt{A}}}{A}$ (A > 0) |
| $ displaystyle frac{M}{{sqrt{A}pm sqrt{B}}}=frac{{Mleft( {sqrt{A}mp sqrt{B}} right)}}{{A-B}}$ (A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) |
II . Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai:
- Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.
- Bước 2: Thực hiện phép tính theo thứ tự đã biết.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài tập 1: Tính:
| a) $ displaystyle frac{3}{{sqrt{5}+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}-1}}-frac{4}{{3-sqrt{5}}}$; | b) $ displaystyle frac{{sqrt{5}-2}}{{5+2sqrt{5}}}-frac{1}{{2+sqrt{5}}}+frac{1}{{sqrt{5}}}$; |
| c) $ displaystyle frac{1}{{2+sqrt{3}}}+frac{{sqrt{2}}}{{sqrt{6}}}-frac{2}{{3+sqrt{3}}}$; | d) $ displaystyle frac{{2sqrt{3}-4}}{{sqrt{3}-1}}+frac{{2sqrt{2}-1}}{{sqrt{2}-1}}-frac{{1+sqrt{6}}}{{sqrt{2}+3}}$. |
Bài tập 2: Tính:
a) A = $ displaystyle sqrt{{sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-6sqrt{{20}}}}}}}}$;
b) B = $ displaystyle sqrt{{6+2sqrt{{5-sqrt{{13+sqrt{{48}}}}}}}}$;
c) C = $ displaystyle sqrt{{4+sqrt{{5sqrt{3}+5sqrt{{48-10sqrt{{7+4sqrt{3}}}}}}}}}$.
Bài tập 3: Thực hiện phép tính: B = $ displaystyle frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{2}:left( {frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{2}-frac{2}{{sqrt{6}}}+frac{{sqrt{{2+sqrt{3}}}}}{{2sqrt{3}}}} right)$.
Bài tập 4: Thực hiện phép tính: A = $ displaystyle left( {sqrt{{frac{{1+a}}{{1-a}}}}+sqrt{{frac{{1-a}}{{1+a}}}}} right):left( {sqrt{{frac{{1+a}}{{1-a}}}}-sqrt{{frac{{1-a}}{{1+a}}}}} right)$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle frac{{(x+1)sqrt{3}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}$ với $ displaystyle x=2+sqrt{3}$.
Bài tập 6: Cho $ displaystyle a=frac{{-1+sqrt{2}}}{2}$, $ displaystyle b=frac{{-1-sqrt{2}}}{2}$. Tính $ displaystyle {{a}^{7}}+{{b}^{7}}$.
Bài tập 7: Cho biết: $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}-sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=1$.
Tính: $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+13}}+sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.
Bài tập 8: Cho biểu thức $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}-sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}=3$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+19}}+sqrt{{{{x}^{2}}-6x+10}}$.
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức.
Bài tập 9: Trục căn thức ở mẫu: $ displaystyle frac{{16-{{a}^{2}}}}{{2-sqrt{a}}}$
Bài tập 10: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{5}-sqrt{{3-sqrt{{29-12sqrt{5}}}}}$.
Bài tập 11: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ displaystyle sqrt{{200}}-sqrt{{32}}+sqrt{{72}}$; | b) $ displaystyle sqrt{{175}}-sqrt{{112}}+sqrt{{63}}$; |
| c) $ displaystyle 4sqrt{{20}}-3sqrt{{125}}+5sqrt{{45}}-15sqrt{{frac{1}{5}}}$; | d) $ displaystyle left( {2sqrt{8}+3sqrt{5}-7sqrt{2}} right)left( {sqrt{{72}}-5sqrt{{20}}-2sqrt{2}} right)$. |
Bài tập 12: Rút gọn các biểu thức:
a) $ displaystyle 2sqrt{{8sqrt{3}}}-2sqrt{{5sqrt{3}}}-3sqrt{{20sqrt{3}}}$;
b) $ displaystyle sqrt{{343a}}+sqrt{{63a}}-sqrt{{28a}}$ với a ≥ 0;
c) $ displaystyle -sqrt{{36b}}-frac{1}{3}sqrt{{54b}}+frac{1}{5}sqrt{{150b}}$ với b ≥ 0.
Bài tập 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu có thể):
| a) $ displaystyle frac{{sqrt{6}+sqrt{{14}}}}{{2sqrt{3}-sqrt{7}}}$; | b) $ displaystyle frac{{3+4sqrt{3}}}{{sqrt{6}+sqrt{2}-sqrt{5}}}$; |
| c) $ displaystyle frac{{5sqrt{5}+3sqrt{3}}}{{sqrt{5}+sqrt{3}}}$; | d) $ displaystyle frac{1}{{2+sqrt{5}+2sqrt{2}+sqrt{{10}}}}$. |
Bài tập 14: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle frac{{2+sqrt{3}}}{{sqrt{2}+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}+frac{{2-sqrt{3}}}{{sqrt{2}-sqrt{{2-sqrt{3}}}}}$.
Bài tập 15: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ displaystyle frac{1}{{sqrt{{7-sqrt{{24}}}}+1}}-frac{1}{{sqrt{{7+sqrt{{24}}}}-1}}$; | b) $ displaystyle frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{{sqrt{3}+1}}-1}}-frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{{sqrt{3}+1}}+1}}$; |
| c) $ displaystyle frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{{sqrt{3}+1}}-1}}-frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{{sqrt{3}+1}}+1}}$; | d) $ displaystyle sqrt{{frac{{3+sqrt{5}}}{{3-sqrt{5}}}}}+sqrt{{frac{{3-sqrt{5}}}{{3+sqrt{5}}}}}$. |
Bài tập 16: Rút gọn các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle frac{{sqrt{{frac{5}{3}}}+sqrt{{frac{3}{5}}}-2}}{{sqrt{{frac{5}{3}}}-sqrt{{frac{3}{5}}}}}$; | c) C = $ displaystyle frac{{2{{{left( {frac{{sqrt{2}+sqrt{3}}}{{6sqrt{2}}}} right)}}^{{-1}}}+3{{{left( {frac{{sqrt{2}+sqrt{3}}}{{4sqrt{3}}}} right)}}^{{-1}}}}}{{{{{left( {frac{{2+sqrt{6}}}{{12}}} right)}}^{{-1}}}+{{{left( {frac{{3+sqrt{6}}}{{12}}} right)}}^{{-1}}}}}$. |
| b) B = $ displaystyle frac{{left( {sqrt{3}-sqrt{2}} right)left( {sqrt{3}+sqrt{2}} right)}}{{frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{3}+sqrt{2}}}+frac{{sqrt{2}}}{{sqrt{3}-sqrt{2}}}}}$; |
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ displaystyle frac{{1+sqrt{5}}}{{sqrt{2}+sqrt{{3+sqrt{5}}}}}+frac{{1-sqrt{5}}}{{sqrt{2}-sqrt{{3-sqrt{5}}}}}$;
b) B = $ displaystyle left( {frac{{1-asqrt{a}}}{{1-sqrt{a}}}+sqrt{a}} right){{left( {frac{{1-sqrt{a}}}{{1-a}}} right)}^{2}}$;
c) C = $ displaystyle frac{{sqrt{x}-sqrt{y}}}{{xysqrt{{xy}}}}:left[ {left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}} right).frac{1}{{x+y+2sqrt{{xy}}}}+frac{2}{{{{{left( {sqrt{x}+sqrt{y}} right)}}^{3}}}}.left( {frac{1}{{sqrt{x}}}+frac{1}{{sqrt{y}}}} right)} right]$
với $ displaystyle x=2-sqrt{3}$ và $ displaystyle y=2+sqrt{3}$.
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: P = $ displaystyle frac{{1-sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}}}$.
Bài tập 19: Rút gọn biểu thức: Q = $ displaystyle frac{{sqrt{{x+sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}-sqrt{{x-sqrt{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}}}}}{{sqrt{{2(x-y)}}}}$ với x > y > 0.
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:
A = $ displaystyle left( {frac{1}{{sqrt{{x-1}}}}+frac{1}{{sqrt{{x+1}}}}} right):left( {frac{1}{{sqrt{{x-1}}}}-frac{1}{{sqrt{{x+1}}}}} right)$ với $ displaystyle x=frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{2ab}}$ và b > a > 0.
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: B = $ displaystyle frac{{2asqrt{{1+{{x}^{2}}}}}}{{sqrt{{1+{{x}^{2}}}}-x}}$ với $ displaystyle x=frac{1}{2}left( {sqrt{{frac{{1-a}}{a}}}-sqrt{{frac{a}{{1-a}}}}} right)$ và 0 < a < 1.
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: M = $ displaystyle (a+b)-sqrt{{frac{{({{a}^{2}}+1)({{b}^{2}}+1)}}{{{{c}^{2}}+1}}}}$
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.
Bài tập 23: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle frac{{sqrt{{x+2sqrt{{x-1}}}}+sqrt{{x-2sqrt{{x-1}}}}}}{{sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}+sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}}}.sqrt{{2x-1}}$.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{1-a}}+sqrt{{a(a-1)}}+asqrt{{frac{{a-1}}{a}}}$.
Bài tập 25: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle frac{{x+3+2sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}{{2x-6+sqrt{{{{x}^{2}}-9}}}}$.
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: B = $ displaystyle frac{{{{x}^{2}}+5x+6+xsqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}{{3x-{{x}^{2}}+(x+2)sqrt{{9-{{x}^{2}}}}}}$.
Bài tập 27: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 3.
M = $ displaystyle frac{{sqrt{{x-2sqrt{2}}}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}-4xsqrt{2}+8}}}}-frac{{sqrt{{x+2sqrt{2}}}}}{{sqrt{{{{x}^{2}}+4xsqrt{2}+8}}}}$.
Bài tập 28: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{1}+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+frac{1}{{sqrt{3}+sqrt{4}}}+…+frac{1}{{sqrt{{n-1}}+sqrt{n}}}$;
b) B = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{1}-sqrt{2}}}-frac{1}{{sqrt{2}-sqrt{3}}}+frac{1}{{sqrt{3}-sqrt{4}}}-…-frac{1}{{sqrt{{24}}-sqrt{{25}}}}$.
Bài tập 29: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:
a) A = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{{2c}}}}$ trong đó a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện c là trung bình nhân của hai số a và b.
b) B = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{a}+sqrt{b}+sqrt{c}+sqrt{d}}}$ trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện ab = cd và a + b ≠ c + d.
DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình
Bài tập 30: Giải phương trình:
| a) $ displaystyle sqrt{{7+sqrt{{2x}}}}=3+sqrt{5}$; | b) $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-6x+9}}=sqrt{{4+2sqrt{3}}}$; |
| c) $ displaystyle sqrt{{3{{x}^{2}}-4x}}=2x-3$; | d) $ displaystyle frac{{(7-x).sqrt{{7-x}}+(x-5)sqrt{{x-5}}}}{{sqrt{{7-x}}+sqrt{{x-5}}}}=2$. |
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) $ displaystyle sqrt{{4x-12}}+sqrt{{9x-27}}-4sqrt{{x-3}}+3-x=0$;
b) $ displaystyle sqrt{{25x+75}}+3sqrt{{x-2}}=2+4sqrt{{x+3}}+sqrt{{9x-18}}$;
c) $ displaystyle sqrt{{49x-98}}-14sqrt{{frac{{x-2}}{{49}}}}=sqrt{{9x-18}}+8$;
d) $ displaystyle sqrt{{x+sqrt{{2x-1}}}}+sqrt{{x-sqrt{{2x-1}}}}=sqrt{2}$.
Bài tập 32: Cho A = $ displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x-frac{1}{{sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-x}}$ trong đó x Î $ displaystyle mathbb{R}$.
Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên.
Bài tập 33: Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x > y > 0 thỏa mãn điều kiện:
$ displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}=sqrt{{931}}$
Bài tập 34: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $ displaystyle sqrt{{n+1}}-sqrt{n}<0,05$.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập 35: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S = $ displaystyle sqrt{{x-3}}+sqrt{{y-4}}$, biết x + y = 8.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức
Bài tập 36: Không dùng máy tính hoặc bảng số, so sánh các số sau:
a) $ displaystyle -3sqrt{{11}}$ và $ displaystyle -7sqrt{2}$;
b) $ displaystyle frac{7}{2}sqrt{{frac{1}{{12}}}}$ và $ displaystyle frac{9}{4}sqrt{{frac{1}{5}}}$;
c) $ displaystyle sqrt{{frac{4}{{27}}}}$ và $ displaystyle sqrt{{frac{3}{{26}}}}$.
Bài tập 37: Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng: $ displaystyle 4sqrt{5}-3sqrt{2}<5$.
Bài tập 38: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
a) $ displaystyle sqrt{{c(a-c)}}+sqrt{{c(b-c)}}-sqrt{{ab}}le 0$ với a > c, b > c.
b) Nếu $ displaystyle sqrt{{1+b}}+sqrt{{1+c}}ge 2sqrt{{1+a}}$ thì b + c ≥ 2a.
Bài tập 39:
Cho biểu thức: P = $ displaystyle frac{{sqrt{{{{{(x+2)}}^{2}}-8x}}}}{{sqrt{x}-frac{2}{{sqrt{x}}}}}$. Chứng minh rằng: P = $ displaystyle left{ begin{array}{l}-sqrt{x},,,khi,,,0<x<2sqrt{x},,,,,,,khi,,,x>2end{array} right.$
Bài tập 40: Chứng minh rằng: $ displaystyle frac{1}{2}+frac{1}{{3sqrt{2}}}+frac{1}{{4sqrt{3}}}+…+frac{1}{{2018sqrt{{2019}}}}<2$
Bài tập 41: Chứng minh rằng:
a) $ displaystyle frac{1}{{1+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{99}}+sqrt{{100}}}}=9$;
b) $ displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{225}}}}<28$.
Bài tập 42: Chứng minh rằng A < B với:
A = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{1}+sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}+sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{120}}+sqrt{{121}}}}$ và B = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{1}}}+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{35}}}}$.
Bài tập 43: Chứng minh các hằng đẳng thức:
a) $ displaystyle sqrt{{10+sqrt{{60}}-sqrt{{24}}-sqrt{{40}}}}=sqrt{3}+sqrt{5}-sqrt{2}$;
b) $ displaystyle sqrt{{6+sqrt{{24}}+sqrt{{12}}+sqrt{8}}}-sqrt{3}=sqrt{2}+1$.
Bài tập 44: Cho A = $ displaystyle sqrt{{10+sqrt{{24}}+sqrt{{40}}+sqrt{{60}}}}$.
Hãy biểu diễn A dưới dạng tổng của ba căn thức.
Bài tập 45: Chứng minh hằng đẳng thức sau với x ≥ 2:
$ displaystyle sqrt{{sqrt{x}+sqrt{{frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}+sqrt{{sqrt{x}-sqrt{{frac{{{{x}^{2}}-4}}{x}}}}}=sqrt{{frac{{2x+4}}{{sqrt{x}}}}}$
Bài tập 46: Chứng minh rằng $ displaystyle frac{{2sqrt{{mn}}}}{{sqrt{m}+sqrt{n}+sqrt{{m+n}}}}=sqrt{m}+sqrt{n}-sqrt{{m+n}}$.
Áp dụng tính $ displaystyle frac{{2sqrt{{10}}}}{{sqrt{2}+sqrt{5}+sqrt{7}}}$.
Bài tập 47: Chứng minh rằng $ displaystyle frac{1}{{(n+1)sqrt{n}+nsqrt{{n+1}}}}=frac{1}{{sqrt{n}}}-frac{1}{{sqrt{{n+1}}}}$ với n ∈ $ displaystyle {{mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng tính tổng: $ displaystyle S=frac{1}{{2sqrt{1}+1sqrt{2}}}+frac{1}{{3sqrt{2}+2sqrt{3}}}+…+frac{1}{{400sqrt{{399}}+399sqrt{{400}}}}$.
Bài tập 48: Tính giá trị của biểu thức:
$ displaystyle M=frac{1}{{2sqrt{1}+1sqrt{2}}}+frac{1}{{3sqrt{2}+2sqrt{3}}}+frac{1}{{4sqrt{3}+3sqrt{4}}}+…+frac{1}{{25sqrt{{24}}+24sqrt{{25}}}}$.
Bài tập 49: Cho a = $ displaystyle sqrt{2}-1$.
a) Viết a2, a3 dưới dạng $ displaystyle sqrt{m}-sqrt{{m-1}}$ trong đó m là số tự nhiên.
b*) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng trên.
Bài tập 50: Chứng minh rằng với mọi x > 0, y > 0 và x ≠ y, giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.
A = $ displaystyle frac{{{{x}^{4}}}}{{x-y}}.sqrt{{frac{1}{{{{x}^{6}}}}-frac{{2y}}{{{{x}^{7}}}}+frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{8}}}}}}$.
Bài tập 51: Cho x, y, z > 0 và khác nhau đôi một. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của các biến.
P = $ displaystyle frac{x}{{left( {sqrt{x}-sqrt{y}} right)left( {sqrt{x}-sqrt{z}} right)}}+frac{y}{{left( {sqrt{y}-sqrt{z}} right)left( {sqrt{y}-sqrt{x}} right)}}+frac{z}{{left( {sqrt{z}-sqrt{x}} right)left( {sqrt{z}-sqrt{y}} right)}}$.
Bài tập 52: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) Q = $ displaystyle frac{1}{x}.left( {frac{{sqrt{{x+1}}+sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-1}}}}+frac{{sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-1}}}}{{sqrt{{x+1}}+sqrt{{x-1}}}}} right)$ với x > 1.
b) R = $ displaystyle frac{{2x}}{{x+3sqrt{x}+2}}+frac{{5sqrt{x}+1}}{{x+4sqrt{x}+3}}+frac{{sqrt{x}+10}}{{x+5sqrt{x}+6}}$ với x ≥ 0.
DẠNG 6: Các bài toán tổng hợp
Bài tập 53: Cho: M = $ displaystyle frac{{sqrt{a}+6}}{{sqrt{a}+1}}$.
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên;
b) Chứng minh rằng với a = $ displaystyle frac{4}{9}$ thì M là số nguyên;
c) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Bài tập 54: Cho biểu thức: M = $ displaystyle frac{{sqrt{a}+2}}{{sqrt{a}-2}}$.
a) Tìm các số nguyên a để m là số nguyên.
b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Bài tập 55: Cho biểu thức: C = $ displaystyle frac{{3x+sqrt{{9x}}-3}}{{x+sqrt{x}-2}}-frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}+2}}+frac{{sqrt{x}+2}}{{1-sqrt{x}}}$.
a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa;
b) Rút gọn biểu thức C;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên.
Bài tập 56: Cho biểu thức: A = $ displaystyle {{x}^{2}}-3xsqrt{y}+2y$.
a) Phân tích A thành nhân tử;
b) Tính giá trị của A khi $ displaystyle x=frac{1}{{sqrt{5}-2}}$, $ displaystyle y=frac{1}{{9+4sqrt{5}}}$.
Bài tập 57: Cho biểu thức:
P = $ displaystyle left( {frac{{2sqrt{x}}}{{sqrt{x}+3}}+frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-3}}-frac{{3x+3}}{{x-9}}} right):left( {frac{{2sqrt{x}-2}}{{sqrt{x}-3}}-1} right)$ với x ≥ 0 và x ≠ 9.
a) Rút gọn P;
b) Tìm các giá trị của x để P < $ displaystyle -frac{1}{3}$.
c) Tìm các giá trị của x để P có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 58: Cho biểu thức: Q = $ displaystyle frac{{2sqrt{x}-9}}{{x-5sqrt{x}+6}}-frac{{sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}-2}}-frac{{2sqrt{x}+1}}{{3-sqrt{x}}}$.
a) Tìm các giá trị của x để Q có nghĩa;
b) Rút gọn Q;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của Q là một số nguyên.
Bài tập 59: Cho biểu thức P = $ displaystyle frac{1}{{sqrt{x}+2}}-frac{5}{{x-sqrt{x}-6}}-frac{{sqrt{x}-2}}{{3-sqrt{x}}}$.
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài tập 60: Cho biểu thức P = $ displaystyle left( {frac{{sqrt{x}+sqrt{y}}}{{1-sqrt{{xy}}}}+frac{{sqrt{x}-sqrt{y}}}{{1+sqrt{{xy}}}}} right):left( {1+frac{{x+y+2xy}}{{1-xy}}} right)$.
a) Rút gọn P;
b) Tính giá trị của P với x = $ displaystyle frac{2}{{2+sqrt{3}}}$;
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài tập 61: Cho P = $ displaystyle frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{{xy}}+sqrt{x}+2}}+frac{{sqrt{y}}}{{sqrt{{yz}}+sqrt{y}+1}}+frac{{2sqrt{z}}}{{sqrt{{zx}}+2sqrt{z}+2}}$.
Biết xyz = 4, tính $ displaystyle sqrt{P}$.