Để so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên chúng ta cần nắm được định nghĩa, tính chất của lũy thừa và phương pháp so sánh mà Toán cấp 2 chia sẻ dưới đây.
Trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên.
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: $ displaystyle {{a}^{n}}=a.a.a.a.a…a$ ( n thừa số a với a ∈ Q ).
Qui ước: $ displaystyle {{a}^{0}}=1(ane 0)$ và $ displaystyle {{a}^{1}}=a$.
* Các phép tính luỹ thừa:
– Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: $ displaystyle {{a}^{m}}cdot {{a}^{n}}={{a}^{{m+n}}}$ .
– Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : $ displaystyle {{a}^{m}}:{{a}^{n}}={{a}^{{m-n}}},(ane 0;mge n)$.
– Luỹ thừa của một tích: $ displaystyle {{(acdot b)}^{n}}={{a}^{n}}cdot {{b}^{n}}$.
– Luỹ thừa của một thương: $ displaystyle {{(a:b)}^{n}}={{a}^{n}}:{{b}^{n}}(bne 0)$.
– Luỹ thừa của luỹ thừa: $ displaystyle {{left( {{{a}^{m}}} right)}^{n}}={{a}^{{mcdot n}}}$.
– Luỹ thừa tầng: $ displaystyle {{mathbf{a}}^{{{{text{m}}^{text{n}}}}}}={{mathbf{a}}^{{left( {{{text{m}}^{text{n}}}} right)}}}$
Ví dụ: $ displaystyle {{3}^{{{{text{2}}^{3}}}}}={{3}^{8}}$.
– Luỹ thừa với số mũ âm: $ displaystyle {{text{a}}^{{-text{n}}}}=frac{1}{{{{text{a}}^{text{n}}}}}(text{a}ne 0)$
Ví dụ: $ displaystyle {{10}^{{-3}}}=frac{1}{{{{{10}}^{3}}}}$
Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên
I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số:
+ Khi cơ số lớn hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:
$ displaystyle {{a}^{m}}>{{a}^{n}}quad (a>1)Rightarrow m>n$
+ Khi cơ số nhỏ hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ bé hơn:
$a^{m}>a^{n} quad(a<1) Rightarrow m>n$
+ Khi cơ số bằng 1, thì hai luỹ thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên.
– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
$ displaystyle {{a}^{n}}>{{b}^{n}}(n>0)Rightarrow a>b$
II/ Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng trong tích:
Xét: $ displaystyle {{a}^{n}}$ biến đổi được về dạng: $ displaystyle c.{{text{d}}^{k}}$
$ displaystyle {{b}^{m}}$ biến đổi được về dạng: $ displaystyle e.{{text{d}}^{k}}$
+ Nếu $ displaystyle c<e$ thì $ displaystyle c.{{text{d}}^{k}}<e.{{d}^{k}}Rightarrow {{a}^{n}}<{{b}^{m}}$.
+ Nếu $ displaystyle c>e$ thì $ displaystyle c.{{text{d}}^{k}}>e.{{d}^{k}}Rightarrow {{a}^{n}}>{{b}^{m}}$.
III/ Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu $ displaystyle A>B$ và $ displaystyle B>C$ thì $ displaystyle A>C$
Nếu $ displaystyle A.C<B.C$ (với C > 0 ) $ displaystyle Rightarrow A<B$
IV/ Phương pháp 4:
Xét: $ displaystyle {{a}^{n}}$ biến đổi được về dạng: $ displaystyle {{c}^{q}}cdot {{d}^{k}}$
$ displaystyle {{b}^{m}}$ biến đổi được về dạng: $ displaystyle {{e}^{p}}cdot {{q}^{h}}$h
Nếu$ displaystyle {{c}^{q}}<{{e}^{p}}$ và $ displaystyle {{d}^{k}}<{{g}^{h}}$ thì $ displaystyle {{c}^{q}}cdot {{d}^{k}}<{{e}^{p}}cdot {{g}^{h}}$.