Để so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên chúng ta cần nắm được định nghĩa, tính chất của lũy thừa và phương pháp so sánh mà Toán cấp 2 chia sẻ dưới đây.
Trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên.
* Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: displaystylean=a.a.a.a.a…a ( n thừa số a với a ∈ Q ).
Qui ước: displaystylea0=1(ane0) và displaystylea1=a.
* Các phép tính luỹ thừa:
– Nhân hai luỹ thưa cùng cơ số: displaystyleamcdotan=am+n .
– Chia hai luỹ thừa cùng cơ số : displaystyleam:an=am−n,(ane0;mgen).
– Luỹ thừa của một tích: displaystyle(acdotb)n=ancdotbn.
– Luỹ thừa của một thương: displaystyle(a:b)n=an:bn(bne0).
– Luỹ thừa của luỹ thừa: displaystyleleft(amright)n=amcdotn.
– Luỹ thừa tầng: displaystylemathbfatextmtextn=mathbfaleft(textmtextnright)
Ví dụ: displaystyle3text23=38.
– Luỹ thừa với số mũ âm: displaystyletexta−textn=frac1textatextn(textane0)
Ví dụ: displaystyle10−3=frac1103
Các phương pháp so sánh 2 lũy thừa với số mũ tự nhiên
I/ Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ .
– Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số:
+ Khi cơ số lớn hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn:
displaystyleam>anquad(a>1)Rightarrowm>n
+ Khi cơ số nhỏ hơn 1, thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ bé hơn:
am>anquad(a<1)Rightarrowm>n
+ Khi cơ số bằng 1, thì hai luỹ thừa bằng nhau với mọi số mũ tự nhiên.
– Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn .
displaystylean>bn(n>0)Rightarrowa>b
II/ Phương pháp 2: So sánh thừa số riêng trong tích:
Xét: displaystylean biến đổi được về dạng: displaystylec.textdk
displaystylebm biến đổi được về dạng: displaystylee.textdk
+ Nếu displaystylec<e thì displaystylec.textdk<e.dkRightarrowan<bm.
+ Nếu displaystylec>e thì displaystylec.textdk>e.dkRightarrowan>bm.
III/ Phương pháp 3: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu displaystyleA>B và displaystyleB>C thì displaystyleA>C
Nếu displaystyleA.C<B.C (với C > 0 ) displaystyleRightarrowA<B
IV/ Phương pháp 4:
Xét: displaystylean biến đổi được về dạng: displaystylecqcdotdk
displaystylebm biến đổi được về dạng: displaystyleepcdotqhh
Nếudisplaystylecq<ep và displaystyledk<gh thì displaystylecqcdotdk<epcdotgh.