Chuyên đề Nhân chia căn thức bậc hai với các dạng bài: Thực hiện phép tính, Rút gọn biểu thức, Giải phương trình, Tìm GTLN, GTNN của biểu thức, Chứng minh biểu thức.
Bài viết nêu lại lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập, phần cuối là hướng dẫn giải, đáp án.
A – LÝ THUYẾT
I. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương:
1. Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì:
Khai phương một tích
$ displaystyle sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B}$
Nhân các căn thức bậc hai
2. Với A ≥ 0, B > 0 thì:
Khai phương một thương
$ displaystyle sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}$
Chia hai căn thức bậc hai
II. Bổ sung:
1. Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{{{A}_{1}}.{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}=sqrt{{{A}_{1}}}.sqrt{{{A}_{2}}}…sqrt{{{A}_{n}}}$
2. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{a+b}le sqrt{a}+sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = 0 hoặc b = 0)
3. Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: $ displaystyle sqrt{a-b}ge sqrt{a}-sqrt{b}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b hoặc b = 0)
4. Công thức “căn phức tạp”
$ displaystyle sqrt{Apm B}=sqrt{frac{A+sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}pm sqrt{frac{A-sqrt{{{A}^{2}}-B}}{2}}$
Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B.
5. BĐT Cô-si (còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân)
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: $ displaystyle frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ a = b).
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:
• Dạng có chứa dấu căn:
$ displaystyle a+bge 2sqrt{ab}$ với a ≥ 0; b ≥ 0;
$ displaystyle frac{1}{sqrt{ab}}ge frac{2}{a+b}$ với a > 0; b > 0.
• Dạng không có chứa dấu căn:
$ displaystyle frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}ge ab$; $ displaystyle {{(a+b)}^{2}}ge 4ab$; $ displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}ge 2ab$;
6. BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (đối với hai bộ số)
• Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2)
$ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$;
• Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3)
$ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})$;
• Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn)
$ displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+…+{{a}_{n}}{{b}_{n}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2})$;
(dấu “=” xảy ra ⇔ $ displaystyle frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=…=frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$ với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0)
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Thực hiện phép tính
Bài tập 1: Tính:
a) A = $ displaystyle sqrt{3+sqrt{5+2sqrt{3}}}.sqrt{3-sqrt{5+2sqrt{3}}}$;
b) B = $ displaystyle sqrt{4+sqrt{8}}.sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2}}}.sqrt{2-sqrt{2+sqrt{2}}}$.
Bài tập 2: Thực hiện phép tính:
a) $ displaystyle (sqrt{12}+3sqrt{15}-4sqrt{135}).sqrt{3}$; b) $ displaystyle sqrt{252}-sqrt{700}+sqrt{1008}-sqrt{448}$;
c) $ displaystyle 2sqrt{40sqrt{12}}-2sqrt{sqrt{75}}-3sqrt{5sqrt{48}}$.
Bài tập 3: Thực hiện phép tính:
a) $ displaystyle (sqrt{12}+sqrt{75}+sqrt{27}):sqrt{15}$; c) $ displaystyle left( frac{sqrt{1}}{sqrt{7}}-sqrt{frac{16}{7}}+sqrt{frac{9}{7}} right):sqrt{7}$.
b) $ displaystyle (12sqrt{50}-8sqrt{200}+7sqrt{450}):sqrt{10}$;
Bài tập 4: Cho a = $ displaystyle sqrt{frac{3}{5}}+sqrt{frac{5}{3}}$. Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle sqrt{15{{a}^{2}}-8asqrt{15}+16}$.
Bài tập 5: Tính:
a) $ displaystyle frac{sqrt{99999}}{sqrt{11111}}$; b) $ displaystyle frac{sqrt{{{84}^{2}}-{{37}^{2}}}}{sqrt{47}}$; c) $ displaystyle sqrt{frac{5({{38}^{2}}-{{17}^{2}})}{8({{47}^{2}}-{{19}^{2}})}}$; d) $ displaystyle sqrt{frac{0,2,,.,,1,21,,.,,0,3}{7,5,,.,,3,2,,.,,0,64}}$.
Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:
a) $ displaystyle sqrt{{{27}^{2}}-{{23}^{2}}}$; b) $ displaystyle sqrt{{{37}^{2}}-{{35}^{2}}}$;
c) $ displaystyle sqrt{{{65}^{2}}-{{63}^{2}}}$; d) $ displaystyle sqrt{{{117}^{2}}-{{108}^{2}}}$.
Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng $ displaystyle sqrt{19}$ và có hiệu bằng $ displaystyle sqrt{7}$. Tính tích của hai số đó.
Bài tập 8: Tính $ displaystyle sqrt{A}$ biết:
a) A = $ displaystyle 13-2sqrt{42}$; b) A = $ displaystyle 46+6sqrt{5}$;
c) A = $ displaystyle 12-3sqrt{15}$.
Bài tập 9: Tính:
a) $ displaystyle sqrt{3+sqrt{5}}-sqrt{3-sqrt{5}}-sqrt{2}$; b) $ displaystyle sqrt{4-sqrt{7}}-sqrt{4+sqrt{7}}+sqrt{7}$;
c) $ displaystyle sqrt{6,5+sqrt{12}}+sqrt{6,5-sqrt{12}}+2sqrt{6}$.
Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:
a) $ displaystyle (4+sqrt{15})(sqrt{10}-sqrt{6})sqrt{4-sqrt{15}}$; c) $ displaystyle frac{sqrt{sqrt{5}+2}+sqrt{sqrt{5}-2}}{sqrt{sqrt{5}+1}}-sqrt{3-2sqrt{2}}$.
b) $ displaystyle sqrt{3-sqrt{5}}(sqrt{10}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$;
Bài tập 11: Biết x = $ displaystyle (sqrt{10}-sqrt{6}).sqrt{4+sqrt{15}}$.
Tính giá trị của biểu thức: M = $ displaystyle frac{sqrt{4x+4+frac{1}{x}}}{sqrt{x}left| 2{{x}^{2}}-x-1 right|}$
Bài tập 12: Tính:
a) Q = $ displaystyle (3-sqrt{5})sqrt{3+sqrt{5}}+(3+sqrt{5})sqrt{3-sqrt{5}}$;
b) R = $ displaystyle sqrt{2+sqrt{3}}.sqrt{2+sqrt{2+sqrt{3}}}.sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+sqrt{3}}}}.sqrt{2-sqrt{2+sqrt{2+sqrt{3}}}}$.
Bài tập 13: So sánh:
a) $ displaystyle 3+sqrt{5}$ và $ displaystyle 2sqrt{2}+sqrt{6}$; b) $ displaystyle 2sqrt{3}+4$ và $ displaystyle 3sqrt{2}+sqrt{10}$;
c) 18 và $ displaystyle sqrt{15}.sqrt{17}$.
Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972;
b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng $ displaystyle sqrt{A}$ = 99…96 (có 100 chữ số 9).
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = $ displaystyle sqrt{4+sqrt{7}}-sqrt{4-sqrt{7}}$.
Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:
a) $ displaystyle sqrt{11-2sqrt{10}}$; b) $ displaystyle sqrt{9-2sqrt{14}}$;
c) $ displaystyle sqrt{4+2sqrt{3}}-sqrt{4-2sqrt{3}}$; d) $ displaystyle sqrt{9-4sqrt{5}}-sqrt{9+4sqrt{5}}$;
e) $ displaystyle sqrt{4-sqrt{7}}-sqrt{4+sqrt{7}}$; f) $ displaystyle frac{sqrt{3}+sqrt{11+6sqrt{2}}-sqrt{5+2sqrt{6}}}{sqrt{2}+sqrt{6+2sqrt{5}}-sqrt{7+2sqrt{10}}}$;
g) $ displaystyle sqrt{5sqrt{3}+5sqrt{48-10sqrt{7+4sqrt{3}}}}$;
h) $ displaystyle sqrt{4+sqrt{10+2sqrt{5}}}+sqrt{4-sqrt{10+2sqrt{5}}}$; i) $ displaystyle sqrt{94-42sqrt{5}}-sqrt{94+42sqrt{5}}$.
Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ displaystyle frac{sqrt{6}+sqrt{14}}{2sqrt{3}+sqrt{28}}$; b) B = $ displaystyle frac{9sqrt{5}+3sqrt{27}}{sqrt{5}+sqrt{3}}$;
c) C = $ displaystyle frac{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{6}+sqrt{8}+4}{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4}}$; d) D = $ displaystyle frac{3sqrt{8}-2sqrt{12}+sqrt{20}}{3sqrt{18}-2sqrt{27}+sqrt{45}}$.
Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = $ displaystyle frac{sqrt{sqrt{7}-sqrt{3}}-sqrt{sqrt{7}+sqrt{3}}}{sqrt{sqrt{7}-2}}$.
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:
a) A = $ displaystyle sqrt{6+2sqrt{2}.sqrt{3-sqrt{4+2sqrt{3}}}}$; b) B = $ displaystyle sqrt{5}-sqrt{3-sqrt{29-12sqrt{5}}}$;
c) C = $ displaystyle sqrt{3-sqrt{5}}.(sqrt{10}-sqrt{2})(3+sqrt{5})$.
Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{x+sqrt{2x-1}}-sqrt{x-sqrt{2x-1}}$.
Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = $ displaystyle sqrt{x+2sqrt{x-1}}+sqrt{x-2sqrt{x-1}}$.
Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{x+2sqrt{2x-4}}+sqrt{x-2sqrt{2x-4}}$.
Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) A = $ displaystyle sqrt{frac{{{(x-6)}^{4}}}{{{(5-x)}^{2}}}}-frac{{{x}^{2}}-36}{x-5}$ (x < 5), tại x = 4;
b) B = $ displaystyle 5x-sqrt{125}+frac{sqrt{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}{sqrt{x+5}}$ (x ≥ 0), tại x = $ displaystyle sqrt{5}$.
Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:
a) A = $ displaystyle frac{2}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.sqrt{frac{3{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}}{4}}$; b) B = $ displaystyle frac{1}{2a-1}.sqrt{5{{a}^{4}}(1-4a+4{{a}^{2}})}$.
Bài tập 25: Cho a > 0, hãy so sánh $ displaystyle sqrt{a+1}+sqrt{a+3}$ với $ displaystyle 2sqrt{a+2}$.
Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:
M = $ displaystyle frac{sqrt{1+sqrt{1-{{x}^{2}}}}left[ sqrt{{{(1+x)}^{3}}}-sqrt{{{(1-x)}^{3}}} right]}{2+sqrt{1-{{x}^{2}}}}$.
Bài tập 27: Cho biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{frac{{{({{x}^{2}}-3)}^{2}}+12{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}}+sqrt{{{(x+2)}^{2}}-8x}$.
a) Rút gọn A;
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.
Bài tập 28: Cho biểu thức: A = $ displaystyle frac{x+sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x-sqrt{{{x}^{2}}-2x}}-frac{x-sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{x+sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Tìm giá trị của x để A < 2.
Bài tập 29: Lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên, trong đó:
a) $ displaystyle 2+sqrt{3}$ là một nghiệm của phương trình;
b) $ displaystyle 6-4sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình.
Bài tập 30*: a) Rút gọn biểu thức A = $ displaystyle sqrt{1+frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{(a+1)}^{2}}}}$ với a > 0;
b) Tính giá trị của tổng:
B = $ displaystyle sqrt{1+frac{1}{{{1}^{2}}}+frac{1}{{{2}^{2}}}}+sqrt{1+frac{1}{{{2}^{2}}}+frac{1}{{{3}^{2}}}}+sqrt{1+frac{1}{{{3}^{2}}}+frac{1}{{{4}^{2}}}}+…+sqrt{1+frac{1}{{{99}^{2}}}+frac{1}{{{100}^{2}}}}$.
DẠNG 3: Giải phương trình
Bài tập 31: Giải phương trình:
a) $ displaystyle sqrt{5{{x}^{2}}}=2x+1$; b) $ displaystyle frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$.
Bài tập 32: Giải phương trình:
a) $ displaystyle 1+sqrt{3x+1}=3x$; b) $ displaystyle sqrt{2+sqrt{3x-5}}=sqrt{x+1}$;
c) $ displaystyle sqrt{frac{5x+7}{x+3}}=4$; d) $ displaystyle frac{sqrt{5x+7}}{sqrt{x+3}}=4$.
Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = $ displaystyle 4sqrt{x}+6sqrt{y-1}$.
Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: $ displaystyle sqrt{x-a}+sqrt{y-b}+sqrt{z-c}=frac{1}{2}left( x+y+z right)$ trong đó a+b+c = 3.
Bài tập 35: Giải phương trình: $ displaystyle sqrt{x+3-4sqrt{x-1}}+sqrt{x+8+6sqrt{x-1}}=5$.
Bài tập 36: Giải phương trình: $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+sqrt{x+1}=sqrt{x-2}+sqrt{{{x}^{2}}-2x-3}$.
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $ displaystyle sqrt{x-5}+sqrt{13-x}$.
Bài tập 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = $ displaystyle sqrt{x+1}-sqrt{x-8}$;
b) Tìm GTNN của biểu thức B = $ displaystyle sqrt{x-3}+sqrt{5-x}$.
Bài tập 39: Cho biểu thức: M = $ displaystyle frac{{{x}^{2}}-sqrt{2}}{{{x}^{4}}+(sqrt{3}-sqrt{2}){{x}^{2}}-sqrt{6}}$
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức
Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay không nếu:
a) $ displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{2}$; b) $ displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{sqrt{2}}$.
Bài tập 41: Cho ba số x, y, $ displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số $ displaystyle sqrt{x}$, $ displaystyle sqrt{y}$ đều là số hữu tỉ.
Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số $ displaystyle 2a+b-2sqrt{cd}$ và $ displaystyle 2c+d-2sqrt{ab}$.
Bài tập 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì $ displaystyle sqrt{a+b}<sqrt{a}+sqrt{b}$;
b) So sánh $ displaystyle sqrt{2017+2018}$ với $ displaystyle sqrt{2017}+sqrt{2018}$.
Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng $ displaystyle sqrt{ax}+sqrt{by}le sqrt{(a+b)(x+y)}$.
Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực không âm.
Chứng minh: $ displaystyle a+b+cge sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}$.
Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: $ displaystyle sqrt{n+a}+sqrt{n-a}<2sqrt{n}$ với 0 < |a| ≤ n.
Áp dụng (không dùng máy tính hoặc bảng số): chứng minh rằng: $ displaystyle sqrt{101}-sqrt{99}>0,1$.
Bài tập 47: Cho A, B . Chứng minh rằng số 99999 + $ displaystyle 11111sqrt{3}$ không thể biểu diễn dưới dạng $ displaystyle {{(A+Bsqrt{3})}^{2}}$.
Bài tập 48: Cho A = $ displaystyle asqrt{a}+sqrt{ab}$ và B = $ displaystyle bsqrt{b}+sqrt{ab}$ với a > 0, b > 0.
Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ.
Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ $ displaystyle sqrt{b}$:
a) $ displaystyle sqrt{a+sqrt{b}}pm sqrt{a-sqrt{b}}=sqrt{2(apm sqrt{{{a}^{2}}-b})}$;
b) $ displaystyle sqrt{apm sqrt{b}}=sqrt{frac{a+sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}pm sqrt{frac{a-sqrt{{{a}^{2}}-b}}{2}}$.
Bài tập 50: Chứng minh rằng: $ displaystyle 2(sqrt{n+1}-sqrt{n})<frac{1}{sqrt{n}}<2(sqrt{n}-sqrt{n-1})$ với n ∈ $ displaystyle {{mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng: cho S = $ displaystyle 1+frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+…+frac{1}{sqrt{100}}$. Chứng minh rằng 18 < S < 19.
Bài tập 51: Chứng minh rằng: $ displaystyle frac{1}{2sqrt{n+1}}<sqrt{n+1}-sqrt{n}$ với n ∈ $ displaystyle mathbb{N}$.
Áp dụng chứng minh rằng: $ displaystyle 1+frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+…+frac{1}{sqrt{2500}}<100$.
Bài tập 52: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 1. Tính tổng:
S = $ displaystyle xsqrt{frac{(1+{{y}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{x}^{2}}}}+ysqrt{frac{(1+{{x}^{2}})(1+{{z}^{2}})}{1+{{y}^{2}}}}+zsqrt{frac{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})}{1+{{z}^{2}}}}$.
Bài tập 53: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
A = $ displaystyle sqrt{frac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+frac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+frac{1}{{{(c-a)}^{2}}}}$ là số hữu tỉ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.
Bài tập 54: Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x + y + z ≥ $ displaystyle sqrt{xy}+sqrt{yz}+sqrt{zx}$.
Bài tập 55: Cho A = $ displaystyle sqrt{x+3}+sqrt{5-x}$. Chứng minh rằng A ≤ 4.
Bài tập 56: Cho B = $ displaystyle frac{{{x}^{3}}}{1+y}+frac{{{y}^{3}}}{1+x}$ trong đó x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng B ≥ 1.
Bài tập 57: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều kiện $ displaystyle frac{1}{x+1}+frac{1}{y+1}+frac{1}{z+1}=2$.
Chứng minh rằng xyz ≤ $ displaystyle frac{1}{8}$.
Bài tập 58: Tìm các số dương x, y, z sao cho x + y + z = 3 và x4 + y4 + z4 = 3xyz.
Bài tập 59: Cho $ displaystyle sqrt{x}+2sqrt{y}=10$. Chứng minh rằng x + y ≥ 20.
Bài tập 60: Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng: A =$ displaystyle sqrt{x+y}+sqrt{y+z}+sqrt{z+x}le sqrt{6}$.