Lý thuyết cực trị của hàm số
1. Định nghĩa cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm displaystylex0 ∈ (a ; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(displaystylex0), ∀x ∈ (displaystylex0 – h ; displaystylex0 + h), x # displaystylex0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại displaystylex0 .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(displaystylex0), ∀x ∈ (displaystylex0 – h ; displaystylex0 + h), x # displaystylex0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại displaystylex0 .
2. Định lí 1
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (xdisplaystylex0 – h ; displaystylex0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K { displaystylex0 }.
– Nếu displaystyle left{ begin{array}{l}f'(x)>0|forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})f'(x)<0|forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)end{array} right. thì displaystylex0 là điểm cực đại của hàm số
– Nếu displaystyle left{ begin{array}{l}f'(x)<0|forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})f'(x)>0|forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)end{array} right. thì displaystylex0 là điểm cực tiểu của hàm số
3. Định lí 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (displaystylex0 – h ; displaystylex0 + h) (h > 0).
– Nếu f'(displaystylex0) = 0, f”(displaystylex0) > 0 thì displaystylex0 là điểm cực tiểu của hàm số
– Nếu f'(displaystylex0) = 0, f”(displaystylex0) < 0 thì displaystylex0 là điểm cực đại của hàm số
4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.
– Tính f”(x) và f”(displaystylexi) suy ra tính chất cực trị của các điểm displaystylexi
*Chú ý: nếu f”(displaystylexi)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại displaystylexi