Lý thuyết cực trị của hàm số
1. Định nghĩa cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm $displaystyle {{x}_{0}}$ ∈ (a ; b)
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f($displaystyle {{x}_{0}}$), ∀x ∈ ($displaystyle {{x}_{0}}$ – h ; $displaystyle {{x}_{0}}$ + h), x # $displaystyle {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại $displaystyle {{x}_{0}}$ .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f($displaystyle {{x}_{0}}$), ∀x ∈ ($displaystyle {{x}_{0}}$ – h ; $displaystyle {{x}_{0}}$ + h), x # $displaystyle {{x}_{0}}$ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại $displaystyle {{x}_{0}}$ .
2. Định lí 1
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x$displaystyle {{x}_{0}}$ – h ; $displaystyle {{x}_{0}}$ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K { $displaystyle {{x}_{0}}$ }.
– Nếu $displaystyle left{ begin{array}{l}f'(x)>0|forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})f'(x)<0|forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)end{array} right.$ thì $displaystyle {{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số
– Nếu $displaystyle left{ begin{array}{l}f'(x)<0|forall ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})f'(x)>0|forall ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)end{array} right.$ thì $displaystyle {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số
3. Định lí 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = ($displaystyle {{x}_{0}}$ – h ; $displaystyle {{x}_{0}}$ + h) (h > 0).
– Nếu f'($displaystyle {{x}_{0}}$) = 0, f”($displaystyle {{x}_{0}}$) > 0 thì $displaystyle {{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số
– Nếu f'($displaystyle {{x}_{0}}$) = 0, f”($displaystyle {{x}_{0}}$) < 0 thì $displaystyle {{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số
4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.
– Tính f”(x) và f”($displaystyle {{x}_{i}}$) suy ra tính chất cực trị của các điểm $displaystyle {{x}_{i}}$
*Chú ý: nếu f”($displaystyle {{x}_{i}}$)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại $displaystyle {{x}_{i}}$