Đề cương ôn tập giữa kì 2 môn Toán lớp 9 trường THCS Nguyễn Trường Tộ, quận Đống Đa, TP Hà Nội, năm học 2017-2018.
Gồm 2 phần lý thuyết và bài tập.
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ
1. Thế nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Cho ví dụ?
Em có nhận xét gì về nghiệm và biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn?
2. Nêu cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
3. Nêu cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
4. Nêu tính chất của đồ thị hàm số $ y=a{{x}^{2}}$ (a ≠ 0)
5. Thế nào là phương trình bậc hai một ẩn? Cho ví dụ.
Viết công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn
II. HÌNH HỌC
1. Thế nào là: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
2. Nêu cách tính số đo: cung nhỏ, cung lớn; số đo của góc nội tiếp; số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung; số đo của góc có đỉnh ở bên trong (ở bên ngoài) đường tròn.
3. Phát biểu các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn; định lí về quan hệ giữa đường kính, cung và dây trong một đường tròn
4. Phát biểu định lí và hệ quả về góc nội tiếp
5. Phát biểu quỹ tích cung chứa góc
6. Thế nào là tứ giác nội tiếp? Tứ giác nội tiếp có tính chất gì? Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
B. BÀI TẬP
I. ĐẠI SỐ
Dạng 1: Biểu thức tổng hợp (Rút gọn, tính giá trị)
Bài 1: Cho biểu thức $ P=frac{{x+2}}{{xsqrt{x}-1}}+frac{{sqrt{x}+1}}{{x+sqrt{x}+1}}-frac{1}{{sqrt{x}-1}}$
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với $ x=frac{2}{{2-sqrt{3}}}$
c) So sánh P với $ frac{1}{3}$
Bài 2: Cho biểu thức $ Q=frac{{15sqrt{x}-11}}{{x+2sqrt{x}-3}}+frac{{3sqrt{x}-2}}{{1-sqrt{x}}}-frac{{2sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}+3}}$
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để $ Q=frac{1}{2}$
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên
d) Chứng minh rằng $ Qle frac{2}{3}$
Bài 3: Cho biểu thức $ B=left( {frac{3}{{sqrt{x}-1}}-frac{{sqrt{x}-3}}{{1-x}}} right):left( {frac{{x+2}}{{x+sqrt{x}+2}}-frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}+2}}} right)$
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của biểu thức B khi $ x=frac{8}{{sqrt{5}-1}}-frac{8}{{sqrt{5}+1}}$
c) Với $ 0le x<frac{1}{9}$, hãy so sánh B và $ sqrt{B}$
Bài 4: Cho biểu thức $ M=left( {frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-2}}-frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}+2}}-frac{{2sqrt{x}+7}}{{x-4}}} right):left( {frac{{3-sqrt{x}}}{{sqrt{x}-2}}+1} right)$
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của biểu thức B khi $ x=9-4sqrt{5}$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Bài 5: Cho biểu thức $ N=left( {1-frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}+1}}} right):left( {frac{{sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}-2}}+frac{{sqrt{x}+2}}{{3-sqrt{x}}}+frac{{sqrt{x}+2}}{{x-5sqrt{x}+6}}} right)$
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính các giá trị của x để $ N<0$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của N
Bài 6: Cho hai biểu thức $ A=frac{7}{{sqrt{x}+8}}$ và $ B=frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-3}}+frac{{2sqrt{x}-24}}{{x-9}}$
a) Chứng minh $ B=frac{{sqrt{x}+8}}{{sqrt{x}+3}}$
b) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
Dạng 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ 20 phút bể đầy. Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được $ frac{4}{5}$ bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 2: Trong một trang sách, nếu bớt đi 4 dòng và mỗi dòng bớt đi 3 chữ thì cả trang sẽ bớt đi 136 chữ, nếu tăng thêm 3 dòng và mỗi dòng tăng thêm 2 chữ thì cả trang sẽ tăng 109 chữ. Tính số dòng trong trang và số chữ của mỗi dòng.
Bài 3: Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66km hết một thời gian bằng thồi gian tàu chạy ngược dòng 54km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22km và ngược dòng 9km thì hết 1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước không đổi).
Bài 4: Ba năm trước tuổi cha bằng 7 lần tuổi con trừ bớt 1. Năm nay, tuổi cha bằng 4 lần tuổi con cộng thêm 5. Hỏi năm này mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 45 m2. Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn không thay đổi. Tính diện tích của mảnh vườn đó?
Bài 6: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mưới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.
Dạng 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a) $ left{ begin{array}{l}2left( {x+y} right)+sqrt{{x+1}}=4left( {x+y} right)-3sqrt{{x+1}}=-5end{array} right.$
b) $ left{ begin{array}{l}sqrt{x}+2sqrt{{y-1}}=54sqrt{x}-sqrt{{y-1}}=2end{array} right.$
c) $ left{ begin{array}{l}frac{2}{{left| {x-2} right|}}+frac{1}{y}=2frac{6}{{left| {x-2} right|}}-frac{2}{y}=1end{array} right.$
Bài 2: Cho hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}2x+3y=m-5x+y=-1end{array} right.$
a) Giải hệ phương trình với m = 3
b) Tìm m để hệ có nghiệm $ x>0,y>0$
Bài 3: Cho hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}x+my=2mx-2y=1end{array} right.$
a) Tìm m để nghiệm của hệ có dạng (2; y)
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà $ S=2x-y$ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: Cho hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}mx-y=23x+my=5end{array} right.$
a) Giải hệ phương trình với $ m=-1$
b) Tìm m $ left( {mne 0} right)$ để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn $ x+y=1-frac{{{{m}^{2}}}}{{{{m}^{2}}+3}}$
Bài 5: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số $ left{ begin{array}{l}mx+2my=m+1x+(m+1)y=2end{array} right.$
a) Chứng minh nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn thuộc một đường thẳng cố định
b) Xác định m để điểm M (x; y) thuộc góc phần tư thứ nhất
c) Xác định m để điểm M (x; y) thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng $ sqrt{5}$
Dạng 4: Hàm số $ y=a{{x}^{2}}left( {ane 0} right)$. Phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Cho hàm số $ y=fleft( x right)=(2m-1){{x}^{2}}$
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm $ left( {-1;-2} right)$
b) Vẽ đồ thị (P) của hàm số khi $ m=-frac{1}{2}$ và so sánh $ fleft( {-2005} right)$ với $ fleft( {2016} right)$
c) Xác định a để các điểm sau thuộc Parabol (P) ở câu b:
$ left( {a;-frac{1}{2}} right);$ $ left( {-1;-frac{a}{2}} right);$ $ left( {3;-frac{{9sqrt{a}}}{2}} right)$
Bài 2: Vẽ đồ thị của hai hàm số $ y=-frac{1}{2}{{x}^{2}}$ và $ y=-2x-3$ trên cùng hệ trục tọa độ.
a) Gọi M, N là giao điểm của hai đồ thị. Xác định tọa độ M, N
b) Tính chu vi và diện tích $ Delta OMN$
Bài 3: Cho phương trình $ m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}x+1=0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm
Bài 4: Cho phương trình$ {{x}^{2}}-2x+m=0$ (m là tham số)
a) Xác định m biết phương rình có một trong các nghiệm bằng $ 1-sqrt{2}$
b) Tìm nghiệm còn lại của phương trình
Bài 5: Cho phương trình $ m{{x}^{2}}-2(m-1)x+m-1=0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình với $ m=-2$
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, có nghiệm duy nhất
Bài 6: Cho phương trình $ {{x}^{2}}-2(m+1)x+m-4=0$ (m là tham số)
a) Giải phương trình với $ m=1$
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
II. HÌNH HỌC
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A, B), gọi M là điểm chính giữa cung AC, BM cắt AC tại H và cắt tia tiế tuyến Ax của nửa đường tròn (O) tại K, AM cắt BC tại D.
a) Chứng minh cân đỉnh B
b) Chứng minh các tứ giác DMHC, AKDB nội tiếp
c) Tứ giác AKDH là hình gì? Vì sao?
d) Đường tròn ngoại tiếp cắt đường tròn (B; BA) tại N. Chứng minh A, C, N thẳng hàng.
Bài 2: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), dựng cá tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE (D, E thuộc (O)). Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại D và K. Vẽ $ OIbot AE$ tại I.
a) Chứng minh: B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh IA là tia phân giác của $ widehat{{BIC}}$
c) Chứng minh $ A{{C}^{2}}=AD.AE$ và tứ giác IHDC nội tiếp
d) Gọi S là giao điểm của BC và AD. Chứng minh $ frac{1}{{AD}}+frac{1}{{AE}}=frac{2}{{AS}}$ và $ DH=HK$
Bài 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 8cm. Gọi Ax, By lần lượt là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Qua điểm M thuộc (O) kẻ tiếp tuyến thứ ba của đường tròn (O) (M khác A và B), tiếp tuyến này cắt Ax tại C, cắt By tại D $ left( {AC>BD} right)$
a) Chứng minh các tứ giác OACM, OBDM là các tứ giác nội tiếp
b) OC cát AM tại E, OD cắt BM tại F. Tứ giác OEMF là hình gì?
c) Gọi I là trung điểm của OC và K là trung điểm của OD. Chứng minh tứ giác OIMK là tứ giác nội tiếp
d) Cho $ AC+BD=10cm.$ Tính diện tích tứ giác OIMK
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, xy là tiếp tuyến tại B với đường tròn, CD là một đường kính bất kì. Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M, N
a) Chứng minh MCDN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AC.AM = AD.AN
c) Kẻ $ AHbot CD$ tại H, cắt MN tại K. Chứng minh K là trung điểm của MN.
d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN. Chứng minh rằng khi đường kính CD quay quanh tâm O thì điểm I chuyển động trên một đường thẳng.
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm (O; R), đường kính AB. Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến d tại M của nửa đường tròn cắt trung trực đoạn thẳng AB tại I. Đường tròn tâm I bán kính IO cắt d tại P, Q (P là điểm nằm trong $ widehat{{AOM}}$).
a) Chứng minh các tia AP, BQ tiếp xúc với nửa đường tròn đã cho
b) Gọi H là giao điểm của OP và AM, K là giao điểm của OQ và BM. Chứng minh tứ giác PHKQ là tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh $ {{R}^{2}}=AP.BQ$
d) Xác định vị trí của điểm M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác PHKQ là nhỏ nhất