Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 9 trường THCS Vinschool năm học 2018-2019. Bao gồm lý thuyết và bài tập.
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ VINSCHOOL
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn Toán – Lớp 9
A/ Nội dung ôn tập
I/ Lý thuyết
| Chủ đề | Nội dung |
| Biến đổi biểu thức chứa căn | – Căn bậc hai, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức: $ sqrt{{{{A}^{2}}}}=|A|$
– Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai – Tìm x để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước; Tìm GTNN, GTLN của biểu thức |
| Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn | – Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
– Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình |
| Phương trình bậc hai một ẩn và hệ thức Vi – ét | – Giải phương trình bậc hai, phương trình quy về phương trình bậc hai
– Các ứng dụng của hệ thức Vi – ét – Giải bài toán bằng cách lập phương trình |
| Hàm số, đồ thị và sự tương giao của hai đồ thị | – Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
– Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) – Sự tương giao của hai đồ thị |
| Đường tròn và tứ giác nội tiếp | – Các định lý về đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn; độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn
– Dấu hiệu nhận biết và các tính chất của tứ giác nội tiếp |
II/ Bài tập
DẠNG 1: Biến đổi biểu thức chứa căn
Bài 1. Cho hai biểu thức A = $ left( {frac{{x-2}}{{x+2sqrt{x}}}+frac{1}{{sqrt{x}+2}}} right)frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}-1}}$ và P = $ frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}-1}}$ với x > 0; x ≠ 1
a) Tính giá trị biểu thức P khi x = $ 4-2sqrt{3}$
b) Rút gọn biểu thức A
c) So sánh giá trị biểu thức A với 1
d) Tìm giá trị của x để $ frac{P}{A}(x-1)=0$
Bài 2. Cho hai biểu thức: P = $ frac{{2sqrt{x}}}{{sqrt{x}+3}}+frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-3}}-frac{{3x+3}}{{x-9}}$ và Q = $ frac{{sqrt{x}+1}}{{sqrt{x}-3}}$ với x ≥ 0; x ≠ 9
a) Rút gọn P
b) Tìm x để $ frac{P}{Q}<0$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = $ x.frac{P}{Q}+frac{{4x+7}}{{sqrt{x}+3}}$
Bài 3. Cho hai biểu thức A = $ frac{{sqrt{x}}}{{sqrt{x}-1}}+frac{1}{{sqrt{x}+2}}-frac{{3sqrt{x}}}{{x+sqrt{x}-2}}$ và B = $ frac{{sqrt{x}+3}}{{sqrt{x}+1}}$ với x ≥ 0; x≠1
a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 36
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm x để biểu thức M = A.B đạt giá trị lớn nhất
Bài 4. Cho hai biểu thức A = $ frac{3}{{sqrt{x}-3}}$ và B = $ left( {frac{{x+sqrt{x}-12}}{{x-9}}-frac{1}{{sqrt{x}+3}}} right):frac{1}{{sqrt{x}+3}}$ với x ≥ 0; x ≠ 9
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = $ frac{1}{4}$
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = $ frac{A}{B}$ có giá trị là số nguyên.
DẠNG 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Bài 5. Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 75km với vận tốc đã định trước. Khi đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi mới quay về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5km/h và về đến A lúc 12 giờ 20 phút. Tính vận tốc của người đó lúc đi từ A đến B.
Bài 6. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB, BC.
Bài 7. Một xe tải và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ Hà Nội đi đến Mộc Châu. Biết rằng mỗi giờ xe du lịch chạy nhanh hơn xe tải 20km nên đã đến trước xe tải 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường Hà Nội – Mộc Châu dài 200km.
Bài 8. Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 80km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy một đoạn dài 96km thì hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô nếu vận tốc của dòng nước là 2km/h.
Bài 9. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ I may trong 3 ngày và tổ II may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 áo. Biết rằng mỗi ngày tổ I may nhiều hơn tổ II là 10 cái áo. Hỏi một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu áo?
Bài 10. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ. Nhờ sắp xếp hợp lí dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp 1 đã vượt mức 12% kế hoạch, xí nghiệp 2 vượt mức 10%. Do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy một mình trong 20 phút sau đó khóa lại rồi mở tiếp vòi 2 chảy trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được $ frac{1}{8}$ bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 12. Tính diện tích của một hình chữ nhật biết nếu tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích tăng thêm 175m2. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 20m2.
Bài 13. Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 6 người thì thừa một ghế. Hỏi trong phòng có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp.
Bài 14. Một đội thủy lợi theo kế hoạch phải sửa chữa một đoạn đê trong một thời gian quy định. Biết rằng nếu bớt đi 3 người thì đội phải làm thêm 6 ngày, còn nếu có thêm 2 người thì đội hoàn thành trước thời gian quy định là 2 ngày. Hỏi đội có bao nhiêu người và dự định làm trong bao nhiêu ngày?
DẠNG 3. Phương trình – Hệ phương trình
Bài 15. Giải các phương trình sau:
a) 2x2 – 8 = 0
b) 3x2 – 5x = 0
c) – 2x2 + 3x + 5 = 0
d) x4 + 3x2 – 4 = 0
e) $ frac{{x+2}}{{x-5}}+3=frac{6}{{2-x}}$
Bài 16. Giải các hệ phương trình sau:
$ left{ begin{array}{l}(x+1)+2(y-2)=53(x+1)-(y-2)=1end{array} right.$
b) $ left{ begin{array}{l}frac{1}{{x+y}}-frac{2}{{x-y}}=2frac{5}{{x+y}}-frac{4}{{x-y}}=3end{array} right.$
c) $ left{ begin{array}{l}3sqrt{{x-2}}-4sqrt{{y-2}}=12sqrt{{x-2}}+sqrt{{y-2}}=8end{array} right.$
Bài 17. Cho phương trình (m + 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0
a)Giải phương trình với m = – 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 18. Cho phương trình x2 – 5x + 2 = 0 (1)
Không giải phương trình (1) hãy:
a) Tính giá trị các biểu thức: A = x12 + x22; B = x13 + x23, trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
b) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 = $ {{x}_{1}}$ + $ frac{1}{{{{x}_{2}}}}$; y2 = $ {{x}_{2}}+frac{1}{{{{x}_{1}}}}$
Bài 19. Cho phương trình x2 – x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12 + x1x2 + x22 = 7
DẠNG 4. Sự tương giao của hai đồ thị
Bài 20. Cho hàm số y = (m + 1)x + 2m (với m ≠ – 1) có đồ thị là đường thẳng (d).
a) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên R
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1): y = 2x + 1
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
c) Tìm m để các đường thẳng (d1): y = 2x + 1; (d2): y = x + 2 và (d) đồng quy tại 1 điểm.
Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = x + m.
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt E, F
b) Gọi xE, xF là hoành độ giao điểm của E, F. Tìm m để xE2 + xF2 = 4
Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A(-1;2)
b) Khi m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán; vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) tìm được trên cùng mặt phẳng tọa độ.
c) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
d) Gọi hai giao điểm của (P) và (d) là M, N. Xác định m để diện tích tam giác OMN bằng 2.
DẠNG 5. Hình học
Bài 23. Cho đường tròn (O;R), đường kính BC. Gọi A là điểm chính giữa cung BC. M là điểm bất kỳ thuộc đoạn BC. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AC, MN ⊥ EF.
a) Chứng minh 5 điểm A, E, O, M, F thuộc đường tròn
b) Chứng minh BE.BA = BO.BM
c) Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A cắt MF tại K. Chứng minh BE = KF.
d) Khi M di chuyển trên BC, chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 24. Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường cao AD và đường kính AK. Hạ BE và CF cùng vuông góc với AK.
a) Chứng minh tứ giác ABDE và tứ giác ACFD là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh DF//BK
c) Cho $ displaystyle widehat{{ABC}}={{60}^{0}}$; R = 4cm. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi OC, OK và cung nhỏ CK.
d) Cho BC cố định, A chuyển động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF là 1 điểm cố định.
Bài 25. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ đường kính AD cắt BC tại H. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Hạ BK ⊥ AM tại K. Đường thẳng BK cắt CM tại E.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, H, K thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tam giác MBE cân tại M
c) Tia BE cắt đường tròn (O;R) tại N (N khác B). tính độ dài cung nhỏ MN theo R
d) Tìm vị trí của M để tam giác BME có chu vi lớn nhất.
Bài 26. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB có I là trung điểm của OB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = BI. Kẻ dây EF đi qua I, đường thẳng đi qua C và vuông góc với AC tại C cắt các tia AE và AF lần lượt tại K và D.
a) Chứng minh tứ giác KEBC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AE.AK = AD.AF
c) Kẻ tiếp tuyến DN với đường tròn (O) (N là tiếp điểm). Chứng minh rằng $ widehat{{CDN}}=2widehat{{NBO}}$
d) Chứng minh khi E chuyển động trên đường tròn (O;R) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn thuộc một đường thẳng cố định.
DẠNG 6. Một số dạng toán nâng cao
Bài 27. Giải các phương trình sau:
a) $ sqrt{{{{x}^{2}}-3x+2}}+sqrt{{x+3}}=sqrt{{x-2}}+sqrt{{{{x}^{2}}+2x-3}}$
b) $ 10sqrt{{{{x}^{3}}+1}}=3({{x}^{2}}+2)$
Bài 28. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a) $ displaystyle 1<frac{a}{{a+b}}+frac{b}{{b+c}}+frac{c}{{c+a}}<2$
b) $ displaystyle frac{{a+b}}{{sqrt{{a(3a+b)}}+sqrt{{b(3b+a)}}}}ge frac{1}{2}$
c) $ sqrt{{frac{a}{{b+c}}}}+sqrt{{frac{b}{{c+a}}}}+sqrt{{frac{c}{{a+b}}}}>2$
d) $ frac{{a+b}}{c}+frac{{b+c}}{a}+frac{{c+a}}{b}ge 4left( {frac{a}{{b+c}}+frac{b}{{c+a}}+frac{c}{{a+b}}} right)$
Bài 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $ A=frac{{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2}}{{{{x}^{2}}+1}}$
b) $ B={{x}^{2}}-xsqrt{y}+x+y-sqrt{y}+1$
c) $ P=3x+2y+frac{6}{x}+frac{8}{y}$ với x > 0; y > 0 và x + y ≥ 6
d) $ Q=frac{1}{a}+frac{1}{b}$. Với a, b là hai số dương thảo mãn: a + b ≤ 2$ sqrt{2}$
e) $ R=frac{1}{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}+frac{1}{{xy}}$ với x, y là 2 số dương thỏa mãn điều kiện x + y = 1
B/ Cấu trúc đề thi
Bài 1. Rút gọn biểu thức chứa căn
Bài 2. Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-et, sự tương giao của hai đồ thị.
Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bài 4. Hình học tổng hợp.
Bài 5. Toán nâng cao.