Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo quận Tây Hồ, TP Hà Nội, năm học 2018-2019.
Thời gian làm bài 90 phút.
Câu 1. (2,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức A = $ frac{{sqrt{x}-1}}{{sqrt{x}+1}}$ khi x = 9
2) Rút gọn biểu thức B = $ frac{{sqrt{x}+5}}{{sqrt{x}+1}}-frac{1}{{1-sqrt{x}}}+frac{8}{{x-1}}$ với $ xge 0,xne 1$
3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a) $ left{ begin{array}{l}3x-2y=5x+2y=4end{array} right.$
b) $ left{ begin{array}{l}2sqrt{{x+1}}-3sqrt{{y-2}}=54sqrt{{x+1}}+sqrt{{y-2}}=17end{array} right.$
Câu 3. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu người ta mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi hai lại và để vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Câu 4 (3,5 điểm). Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn. Hạ OH vuông góc với đường thẳng d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O; R) tại E.
a) Chứng minh AOBM là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh OI.OM = OK.OH
c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $ {{left( {x+frac{1}{x}} right)}^{2}}+{{left( {y+frac{1}{y}} right)}^{2}}$