Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán tỉnh Bến Tre năm học 2018-2019. Thời gian: 180 phút (không kể phát đề).
Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình latexdisplaystyle4x2−4tx−1=0,,(tinmathbbR) và [α;β] là tập xác định của hàm số latexdisplaystylef(x)=frac2x−tx2+1.
a) Đặt latexdisplaystyleg(t)=maxf(x)−minf(x). Tìm g(t) theo t.
h) Chứng minh rằng: Với latexdisplaystyleu1,u2,u3inleft(0;fracpi2right), nếu latexdisplaystylesinu1+sinu2+sinu3=1 thì:
latexdisplaystylefrac1gleft(tanu1right)+frac1gleft(tanu2right)+frac1gleft(tanu3right)<frac3sqrt64
Câu 2 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có latexdisplaystylehatA=60circ, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lươt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của latexdisplaystylefracMH+NHOH.
Câu 3 (5 điểm)
Dịp hè năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tô chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mồi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại.
Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thây rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.
a) Khi n = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng n là số lẻ.
Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cá các hàm latexdisplaystylef:mathbbRtomathbbR và latexdisplaystyleg:mathbbRtomathbbR thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) Với mọi latexdisplaystylex,yinmathbbR:2f(x)−g(x)=f(y)−y;
(2) Với mọi latexdisplaystylexinmathbbR:f(x)cdotg(x)gex+1.