Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Bến Tre 2018-2019

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán tỉnh Bến Tre năm học 2018-2019. Thời gian: 180 phút (không kể phát đề).

Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình latexdisplaystyle4x24tx1=0,,(tinmathbbR) và [α;β] là tập xác định của hàm số latexdisplaystylef(x)=frac2xtx2+1.

a) Đặt latexdisplaystyleg(t)=maxf(x)minf(x). Tìm g(t) theo t.

h) Chứng minh rằng: Với latexdisplaystyleu1,u2,u3inleft(0;fracpi2right), nếu latexdisplaystylesinu1+sinu2+sinu3=1 thì:

latexdisplaystylefrac1gleft(tanu1right)+frac1gleft(tanu2right)+frac1gleft(tanu3right)<frac3sqrt64

Câu 2 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có latexdisplaystylehatA=60circ, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lươt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của latexdisplaystylefracMH+NHOH.

Câu 3 (5 điểm)

Dịp hè năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tô chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mồi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại.

Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thây rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.

a) Khi n = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.

b) Chứng minh rằng n là số lẻ.

Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cá các hàm latexdisplaystylef:mathbbRtomathbbRlatexdisplaystyleg:mathbbRtomathbbR thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(1) Với mọi latexdisplaystylex,yinmathbbR:2f(x)g(x)=f(y)y;

(2) Với mọi latexdisplaystylexinmathbbR:f(x)cdotg(x)gex+1.

Để lại một bình luận

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *