Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán tỉnh Bến Tre năm học 2018-2019. Thời gian: 180 phút (không kể phát đề).
Câu 1 (5 điểm)
Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình $latex displaystyle 4{{x}^{2}}-4tx-1=0,,(tin mathbb{R})$ và [α;β] là tập xác định của hàm số $latex displaystyle f(x)=frac{{2x-t}}{{{{x}^{2}}+1}}$.
a) Đặt $latex displaystyle g(t)=max f(x)-min f(x)$. Tìm g(t) theo t.
h) Chứng minh rằng: Với $latex displaystyle {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}in left( {0;frac{pi }{2}} right)$, nếu $latex displaystyle sin {{u}_{1}}+sin {{u}_{2}}+sin {{u}_{3}}=1$ thì:
$latex displaystyle frac{1}{{gleft( {tan {{u}_{1}}} right)}}+frac{1}{{gleft( {tan {{u}_{2}}} right)}}+frac{1}{{gleft( {tan {{u}_{3}}} right)}}<frac{{3sqrt{6}}}{4}$
Câu 2 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có $latex displaystyle hat{A}={{60}^{{}^circ }}$, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lươt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của $latex displaystyle frac{{MH+NH}}{{OH}}$.
Câu 3 (5 điểm)
Dịp hè năm học 2017 2018, hiệu trưởng trường A tô chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mồi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại.
Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thây rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày.
a) Khi n = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích.
b) Chứng minh rằng n là số lẻ.
Câu 4 (5 điểm)
Xác định tất cá các hàm $latex displaystyle f:mathbb{R}to mathbb{R}$ và $latex displaystyle g:mathbb{R}to mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) Với mọi $latex displaystyle x,yin mathbb{R}:2f(x)-g(x)=f(y)-y$;
(2) Với mọi $latex displaystyle xin mathbb{R}:f(x)cdot g(x)ge x+1$.