Phòng giáo dục và đào tạo huyện Hoằng Hóa, đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2012-2013, môn thi Toán 8.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức: $ A=left( frac{1}{1-x}+frac{2}{x+1}-frac{5-x}{1-{{x}^{2}}} right):frac{1-2x}{{{x}^{2}}-1}$
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để |A| = A.
Bài 2 (6 điểm):
a. Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0.
b. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x2 + 2x – 10 = y2.
c. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c
Tính giá trị biểu thức: $ P=left( 1+frac{a}{b} right)left( 1+frac{b}{c} right)left( 1+frac{c}{a} right)$ .
Bài 3 (4 điểm):
a. Tìm các số có ba chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7.
b. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $ M=frac{1}{16x}+frac{1}{4y}+frac{1}{z}$.
Bài 4 (4 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD.
b. Tính độ dài đoạn thẳng AH.
c. Tính diện tích tam giác AHB.
Bài 5 (2 điểm):
Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và BC sao cho BM = BN. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN và I là trung điểm của AN.
Tính các góc của tam giác ICG.