Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh An Giang năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề).
Bài 1 : (4,0 điểm)
a. Khử căn ở mẫu số
$ A=frac{59}{sqrt{3}+sqrt{5}+sqrt{7}}$
b. Tính tổng
$ S=frac{1}{sqrt{3}+sqrt{5}}+frac{1}{sqrt{5}+sqrt{7}}+cdot cdot cdot +frac{1}{sqrt{2011}+sqrt{2013}}$
Bài 2 : (4,0 điểm)
Cho đa thức: $ Qleft( x right)={{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1$
a. Phân tích đa thức $ Qleft( x right)$ thành nhân tử.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 = x4 + 3x2 +1
Bài 3 : (4,0 điểm)
a. Vẽ đồ thị hàm số: $ y=fleft( x right)=left| 3x-9 right|+x-7$
b Giải phương trình: $ 3sqrt{{{x}^{2}}-6sqrt{{{x}^{2}}}+9}+sqrt{{{x}^{2}}}-7=0$
Bài 4 : (4,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
$ left{ begin{array}{l}x+2y=-13x+my=1end{array} right.$ (m là tham số)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm, tìm nghiệm đó.
b. Xác định giá trị nhỏ nhất của : $ P={{left( x+2y+1 right)}^{2}}+{{left( 3x+my-1 right)}^{2}}$
Bài 5 : (4,0 điểm)
Cho hình thang cân ABCD cạnh bên là AD và BC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính R = 2
a. Chứng minh rằng hai tam giác IAD và IBC vuông
b. Cho AB = 2x (0 < x < 2). Tính diện tích hình thang ABCD theo x.