Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Hà Nam năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Không kể thời gian giao đề.
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: P=fracx(sqrtx+sqrty)(1−sqrty)−fracy(sqrtx+sqrty)(sqrtx+1)−fracxy(sqrtx+1)(1−sqrty)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2+4bx+671−9a=0.
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình 18ax2+4bx+671−9a=0.
Bài 3. (4,5 điểm)
a) Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
b) Giải phương trình: 4x2+3x+3=4sqrtx3+3x2+2sqrt2x−1
Bài 4. (6,0 điểm)
Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.
b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.
c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.
Bài 5. (2,0 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
fraca+11+b2+fracb+11+c2+fracc+11+a2ge3