Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Lâm Đồng năm học 2012-2013. Thời gian làm bài 150 phút. Ngày thi 28/2/2013.
Bài 1: (2điểm). Cho hàm số f(x) = x4 – 4x2 +12x – 9.
a) Phân tích f(x) thành nhân tử
b) Giải phương trình f(x) = 0.
Bài 2: (2điểm). Cho A = $ left( frac{sqrt{a}}{sqrt{a}-1}-frac{1}{a-sqrt{a}} right):left( frac{1}{sqrt{a}+1}+frac{2}{a-1} right).$
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi a = 3 + 2$ sqrt{2}$
Bài 3: (2điểm). Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác.
a) So sánh diện tích các tam giác sau: GAB; GAC; GBC.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.
Bài 4: (2điểm). Cho hàm số f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + 1. Chứng minh rằng f(x) luôn có giá trị là số chính phương với mọi giá trị nguyên của x.
Bài 5: (2điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a; BC = a$ sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Bài 6: (2điểm). Giải hệ phương trình : $ left{ begin{array}{l}4x-y=516{{y}^{2}}-8xy+{{x}^{2}}-40xy+10x+25=0end{array} right.$
Bài 7: (2điểm). Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: $ 9{{y}^{2}}+17{{x}^{2}}+6xy+8x+2>0$
Bài 8: (2điểm). Tính giá trị biểu thức P = 28x5 – 2x4 – 2013x3 +14606x – 3454 khi $ frac{x}{{{x}^{2}}+x+1}=frac{1}{4}$.
Bài 9: (2điểm). Cho hình thoi ABCD có $ widehat{BAD}={{120}^{0}}$. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho $ widehat{BAM}={{15}^{0}}$. AM kéo dài cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh rằng: $ frac{3}{A{{M}^{2}}}+frac{3}{A{{N}^{2}}}=frac{4}{A{{B}^{2}}}$.
Bài 10: (2điểm). Cho x, y là các số thỏa mãn: $ (sqrt{{{x}^{2}}+2013}+x)(sqrt{{{y}^{2}}+2013}+y)=2013.$. Hãy tính giá trị biểu thức x + y.