Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp trường THPT Thạch Thành 1 năm học 2017- 2018. Thời gian làm bài 180 phút. Có đáp án.
Câu 1:(4 điểm)
1. Cho parabol $latex left( P right):y=-{{x}^{2}}+4x+5$ và đường thẳng $latex d:y=mx+1-2m$.
Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao AB ngắn nhất.
2. Giải phương trình: $latex frac{text{1}}{text{si}{{text{n}}^{text{2}}}text{x}}-frac{1}{sin 2x}=cot 2x+3$
Câu 2: (4 điểm)
1. Giải bất phương trình: $latex 4sqrt{{{x}^{2}}-x-1}+sqrt{{{x}^{2}}-2}+{{x}^{2}}-x-sqrt{x}-6ge 0$
2. Giải hệ phương trình:
$latex left{ begin{array}{l}yleft( 2+6y+sqrt{x-2y} right)=xsqrt{x+sqrt{x-2y}}=x+3y-2end{array} right.$
Câu 3: (4 điểm)
1. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 3.
2. Tính giới hạn: $latex underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt[3]{x+1}.sqrt{2{{x}^{2}}+x+1}-1}{x}$
Câu 4: (4 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
$latex cos 3x-4{{cos }^{2}}x+2left( 2m+1 right)cos x-2m+1=0$ có đúng 6 nghiệm $latex xin left( -frac{pi }{2};frac{5pi }{2} right)$.
2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: $latex {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ . Chứng minh rằng:
$latex frac{1}{1-ab}+frac{1}{1-bc}+frac{1}{1-ca}le frac{9}{2}$
Câu 5: (4 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có $latex Cleft( -2;3 right)$, đường cao AH: $latex 3x-2y-5=0$, đường phân giác trong BE: $latex x-y=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC.
2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là các hình vuông. I, J lần lượt là tâm các hình vuông đó và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (IJO). Tính diện tích thiết diện đó theo a.