Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, giao lưu Olympic cấp huyện Kinh Môn, tỉnh Hải Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: ( 2,0 điểm)
1) Tính M = displaystylefracfrac34−frac311+frac313frac54−frac511+frac513+fracfrac12−frac13+frac14frac54−frac56+frac58
2) Tính A=displaystylefrac12+frac13+frac14+…+frac12019 ; B =displaystylefrac12018+frac22017+frac32016+…+frac20172+frac20181. Tính displaystylefracAB
Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )
1) Cho các số dương a,b,c,d; cdisplaystylened và displaystylefracab=fraccd. CMRdisplaystylefracleft(a2018+b2018right)2019left(c2018+d2018right)2019=fracleft(a2019−b2019right)2018left(c2019−d2019right)2018
2) Cho biết displaystyleleft|3x−2yright|+left|5z−7xright|+(xy+yz+xz−500)2018=0.
Tính giá trị biểu thức A = (3x – y – z)2019
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+calea2+b2+c2< 2(ab+bc+ca)
—————————Hết———————