Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, giao lưu Olympic cấp huyện Kinh Môn, tỉnh Hải Dương năm học 2018-2019. Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: ( 2,0 điểm)
1) Tính M = $ displaystyle frac{{frac{3}{4}-frac{3}{{11}}+frac{3}{{13}}}}{{frac{5}{4}-frac{5}{{11}}+frac{5}{{13}}}}+frac{{frac{1}{2}-frac{1}{3}+frac{1}{4}}}{{frac{5}{4}-frac{5}{6}+frac{5}{8}}}$
2) Tính A=$ displaystyle frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+…+frac{1}{{2019}}$ ; B =$ displaystyle frac{1}{{2018}}+frac{2}{{2017}}+frac{3}{{2016}}+…+frac{{2017}}{2}+frac{{2018}}{1}$. Tính $ displaystyle frac{A}{B}$
Câu 2: ( 2,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3
2) CMR với n nguyên dương thì 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10.
Câu 3: ( 2,0 điểm )
1) Cho các số dương a,b,c,d; c$ displaystyle ne $d và $ displaystyle frac{a}{b}=frac{c}{d}$. CMR$ displaystyle frac{{{{{left( {{{a}^{{2018}}}+{{b}^{{2018}}}} right)}}^{{2019}}}}}{{{{{left( {{{c}^{{2018}}}+{{d}^{{2018}}}} right)}}^{{2019}}}}}=frac{{{{{left( {{{a}^{{2019}}}-{{b}^{{2019}}}} right)}}^{{2018}}}}}{{{{{left( {{{c}^{{2019}}}-{{d}^{{2019}}}} right)}}^{{2018}}}}}$
2) Cho biết $ displaystyle left| {3x-2y} right|+left| {5z-7x} right|+{{(xy+yz+xz-500)}^{{2018}}}=0$.
Tính giá trị biểu thức A = (3x – y – z)2019
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.
1) Chứng minh rằng: DC = BE.
2) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Tính số đo góc BIK, góc AMN.
3) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5 (1,0đ)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
ab+bc+ca$ le $$ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$< 2(ab+bc+ca)
—————————Hết———————