Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 9, trường THCS Giảng Võ, quận Ba Đình, TP Hà Nội năm học 2018-2019.
Ngày thi 25/10/2018. Thời gian làm bài 150 phút.
Bài 1: (2 điểm)
Tính giá trị $ displaystyle Q={{x}^{3}}+7x$ biết:
$ displaystyle x=sqrt[3]{{33sqrt{2}+sqrt{{2178+frac{{343}}{{27}}}}}}-sqrt[3]{{-33sqrt{2}+sqrt{{2178+frac{{343}}{{27}}}}}}$
Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình sau
$ displaystyle 2cdot sqrt{{frac{{{{x}^{2}}+x+1}}{{x+4}}}}+{{x}^{2}}-4=frac{2}{{sqrt{{{{x}^{2}}+1}}}}$
Bài 3: (4 điểm)
1. Tìm 2 số nguyên dương có hai chữ số $ displaystyle overline{{xy}}$ sao cho:
$ displaystyle overline{{xy}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}$
2. Xác định tất cả các cặp số (a;b) nguyên dương sao cho $ displaystyle {{a}^{2}}b+a+b$ chia hết cho $ displaystyle {{a}^{2}}b+a+b7$, biết $ displaystyle {{b}^{2}}le 7a$.
Bài 4: (4 điểm) Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
$ displaystyle frac{{2sqrt{2}}}{{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}}+frac{1}{{{{a}^{3}}}}+frac{1}{{{{b}^{3}}}}ge frac{{24}}{{{{{(a+b)}}^{3}}}}$
Bài 5: (5 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB, dây cung AC không qua tâm. Gọi H là trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của dường tròn (O) cắt tia OH tại M.
a. Chứng minh MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b. Vè CK vuông góc với AB tại K, gọi I là trung điểm của CK và cho $ displaystyle widehat{{CAB}}=alpha $. Tính IK theo R và α.
Bài 6: (2 điểm) Trên bàn cờ 10 X 10 người ta viết các số từ 1 dến 100. Mỗi hàng chọn ra số đứng thứ ba khi xếp các số của hàng đó theo thứ từ từ lớn đến nhỏ. Chứng minh rằng tồn tại một hàng có tổng các số trong hàng đó nhỏ hơn tổng các số được chọn.