Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, chuyên Toán Tin trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2013-2014.
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức $ P=frac{3x+sqrt{9x}-3}{x+sqrt{x}-2}-frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}+2}+frac{sqrt{x}-2}{1-sqrt{x}}$ với $ xge 0,,,xne 1$
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho hệ phương trình $ left{ begin{array}{l}x+2y=m2x-y=m+1end{array} right.$
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho x, y là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $ sqrt{5}$.
b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình:
$ {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+3y-4=0$
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình: $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+sqrt{{{x}^{2}}-9x+9}=2x$
b) Giải hệ phương trình: $ left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy(x+y)=3x-yend{array} right.$
Câu 4 (3,5 điểm)
1) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm và C thuộc (O), D thuộc (O’)). Qua B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DA và CA với EF. Gọi I là giao điểm của EC và FD. Chứng minh rằng:
a) CD là đường trung trực của đoạn BI.
b) Tam giác IMN cân.
2) Cho A là điểm cố định trên đường tròn (O; R). Gọi AB và AC là hai dây cung thay đổi của đường tròn (O) thỏa mãn $ sqrt{AB.AC}=Rsqrt{3}$. Xác định vị trí của B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: $ 12left( frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}} right)le 3+frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}$.
Chứng minh rằng: $ frac{1}{4a+b+c}+frac{1}{a+4b+c}+frac{1}{a+b+4c}le frac{1}{6}$