Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: $ displaystyle sqrt{sqrt{5}-sqrt{3-sqrt{29-12sqrt{5}}}}$= cotg450
Bài 2: (4đ) Cho biểu thức $ displaystyle Q=frac{sqrt{x-sqrt{4left( x-1 right)}}+sqrt{x+sqrt{4left( x-1 right)}}}{sqrt{{{x}^{2}}-4left( x-1 right)}}cdot left( 1-frac{1}{x-1} right)$
a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức Q.
Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ displaystyle M=frac{ysqrt{x-1}+xsqrt{y-4}}{xy}$
Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu $ displaystyle frac{{{x}^{2}}-yz}{xleft( 1-yz right)}=frac{{{y}^{2}}-xz}{yleft( 1-xz right)}$
với $ displaystyle xne y,yzne 1,xzne 1,xne 0,yne 0,zne 0$
thì $ displaystyle x+y+z=frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}$
Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.
Chứng minh rằng: $ displaystyle {{S}_{Delta Mtext{EF}}}<frac{1}{4}{{S}_{Delta ABC}}$.
Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA.
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Rút gọn vế trái.
Bài 2: Tìm điều kiện xác định, bỏ dấu giá trị tuyệt đối để có kết quả đúng.
ĐS : Nếu 1 < x < 2 ta có:$ displaystyle Q=frac{2}{1-x}$; Nếu x > 2 ta có: $ displaystyle Q=frac{2}{sqrt{x-1}}$.
Bài 3: Tách thành tổng, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho từng số hạng (ghép 1 với từng tử). Khử được x, y. Giá trị lớn nhất của M là $ frac{3}{4}$.
Bài 4: Biến đổi giả thiết, quy đồng khử mẫu, đưa về phương trình tích bằng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó tiếp tục chuyển vế hợp lý một trong hai nhân tử bằng 0 để có được đẳng thức cần chứng minh.
Bài 5:
Kẻ MP$ displaystyle bot $AB tại P, MQ$ displaystyle bot $AC tại Q
Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N
Do $ displaystyle angle $EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ
$ displaystyle {{S}_{Delta MEF}}<frac{1}{2}{{S}_{APMQ}}$ (*); $ displaystyle {{S}_{APMQ}}=frac{1}{2}{{S}_{Delta ABC}}$ (**).
Từ (*) và (**) ta có: $ displaystyle {{S}_{Delta Mtext{EF}}}<frac{1}{4}{{S}_{Delta ABC}}$
Bài 6:
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB,AC. Giao điểm của OA và PQ là I.
$ displaystyle Delta $PAQ cân ở A và AO$ displaystyle bot $PQ
Áp dụng Pitago lần lượt cho các tam giác vuông suy ra MK2 = MA2$ displaystyle Rightarrow $ MK = MA