Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 theo chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

I. ĐỊNH NGHĨA

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

II. TÍNH CHẤT

1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận

cùng bằng 2, 3, 7, 8.

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ

chẵn.

3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

– Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

– Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

– Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

– Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

– Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

– Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A. DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴
= (x² + 5xy + 4y²)( x² + 5xy + 6y²) + y⁴
Đặt x² + 5xy + 5y² = t ( t ∈ Z) thì
A = (t – y²)( t + y²) + y⁴ = t² – y⁴ + y⁴ = t² = (x² + 5xy + 5y²)²
Vì x, y, z ∈ Z nên x² ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y² ∈ Z ⇒ x² + 5xy + 5y² ∈ Z

Vậy A là số chính phương.