Tóm tắt lý thuyết sự đồng biến, sự nghịch biến của hàm số
Ta kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa cho trước.
1. Khái niệm đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x)
Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀ $displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ∈ K, $displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $displaystyle f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀ $displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ ∈ K, $displaystyle {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $displaystyle f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$
2. Điều kiện cần để hàm số y = f(x) đơn điệu
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
– Nếu y = f(x) đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
– Nếu y = f(x) nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
– Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x)
đồng biến trên K.
– Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f(x)
nghịch biến trên K.
– Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f(x) là hàm hằng trên K.
4. Các quy tắc để xét tính đơn điệu của hàm số
a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm $displaystyle {{x}_{i}}$ (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
c) Sắp xếp các điểm $displaystyle {{x}_{i}}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.