268 bài toán nâng cao lớp 9 có đáp án này sẽ giúp các em ôn tập toàn bộ kiến thức Toán lớp 9 với các bài nâng cao, giúp ích cho kì thi vào cấp 3.
Các bài toán được đánh số thứ tự từ 1 cho tới 268.
1. Chứng minh $ sqrt{7}$ là số vô tỉ.
2.
a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : $ frac{a+b}{2}ge sqrt{ab}$ .
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : $ frac{bc}{a}+frac{ca}{b}+frac{ab}{c}ge a+b+c$
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : |a+b|>|a-b|
9.
a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)