A – LÝ THUYẾT
II . Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức :
| · Điều kiện xác định của $ displaystyle sqrt{text{A}}$ là A ≥ 0
(tức là để căn thức $ displaystyle sqrt{text{A}}$ có nghĩa thì điều kiện là biểu thức A phải lớn hơn hoặc bằng 0) · Với mọi số thực a, ta có: $ displaystyle sqrt{{{a}^{2}}}=left| a right|$ · Với A là biểu thức, ta có hằng đẳng thức:
|
|||
| BỔ SUNG:
1. $ displaystyle sqrt{text{A}}text{ = }sqrt{text{B}}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}text{A}ge 0,,(text{hay},,text{B}ge 0)text{A}=text{B}end{array} right.$ 2. $ displaystyle sqrt{text{A}}text{ + }sqrt{text{B}}text{ = 0}Leftrightarrow text{A = B = 0}$ |
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Tìm giá trị của x để biểu thức chứa căn có nghĩa
Bài tập 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
| A = $ displaystyle sqrt{4{{x}^{2}}-1}$ | B = $ displaystyle sqrt{2{{x}^{2}}+4x+5}$ |
| C = $ displaystyle frac{1}{sqrt{2x-{{x}^{2}}}}$ | D = $ displaystyle sqrt{x+frac{3}{x}}+sqrt{-3x}$ |
Bài tập 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
| A = $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}$ | B = $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+4x+5}$ |
| C = $ displaystyle sqrt{frac{x+3}{5-x}}$ | D = $ displaystyle frac{1}{sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}}$ |
Bài tập 3: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle frac{1}{sqrt{{{x}^{2}}-2x-1}}$ | b) B = $ displaystyle frac{1}{sqrt{x-sqrt{2x+1}}}$ |
Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle sqrt{2-{{x}^{2}}}$ | b) B = $ displaystyle frac{x}{sqrt{5{{x}^{2}}-3}}$ |
| c) C = $ displaystyle sqrt{-4{{x}^{2}}+4x-1}$ | d) D = $ displaystyle frac{1}{sqrt{{{x}^{2}}+x-2}}$ |
Bài tập 5: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
| a) A = $ displaystyle 3-sqrt{1-16{{x}^{2}}}$ | b) B = $ displaystyle frac{1}{1-sqrt{{{x}^{2}}-3}}$ |
| c) C = $ displaystyle sqrt{8x-{{x}^{2}}-15}$ | d) D = $ displaystyle frac{2}{sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}$ |
| e) E = $ displaystyle frac{1}{sqrt{x-sqrt{2x-1}}}$ | f) F = $ displaystyle frac{sqrt{16-{{x}^{2}}}}{sqrt{2x+1}}+sqrt{{{x}^{2}}-8x+14}$ |
DẠNG 2: Tính, rút gọn biểu thức
Bài tập 6: Tính:
| a) $ displaystyle -frac{7}{9}.sqrt{{{(-0,81)}^{2}}}$ | b) $ displaystyle 6.sqrt{{{left( frac{-1}{36} right)}^{2}}}$ |
| c) $ displaystyle sqrt{49}.sqrt{144}+sqrt{256}:sqrt{64}$ | d) 72 : $ displaystyle sqrt{{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.36}-sqrt{225}$ |
Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức:
| a) $ displaystyle sqrt{6+2sqrt{5}}+sqrt{6-2sqrt{5}}$
c) $ displaystyle sqrt{11+6sqrt{2}}+sqrt{11-6sqrt{2}}$ |
b) $ displaystyle sqrt{8-2sqrt{7}}-sqrt{8+2sqrt{7}}$
d) $ displaystyle sqrt{3+2sqrt{2}}+sqrt{6-4sqrt{2}}$ |
Bài tập 8: Rút gọn các biểu thức:
a) $ displaystyle sqrt{64{{a}^{2}}}+2a$ với a ≥ 0
b) $ displaystyle 3sqrt{9{{a}^{6}}}-6{{a}^{3}}$với a bất kì
c) $ displaystyle sqrt{{{a}^{2}}+6a+9}+sqrt{{{a}^{2}}-6a+9}$ với a bất kì
d) $ displaystyle sqrt{a+2sqrt{a-1}}+sqrt{a-2sqrt{a-1}}$ với 1 ≤ a ≤ 2
Bài tập 9: Cho biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{x-sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}$
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
Bài tập 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
| a) x2 – 11;
c) $ displaystyle x+4sqrt{x}+3$ |
b) $ displaystyle x+5sqrt{x}+6$
d) $ displaystyle 3x-6sqrt{x}-6$ |
Bài tập 11: Rút gọn các phân thức sau:
| a) A = $ displaystyle frac{asqrt{a}-8+2a-4sqrt{a}}{a-4}$ | b) B = $ displaystyle frac{12sqrt{6}}{sqrt{7+2sqrt{6}}-sqrt{7-2sqrt{6}}}$ |
| c) C = $ displaystyle frac{sqrt{{{c}^{2}}+2c+1}}{left| c right|-1}$ |
Bài tập 12: Cho x < 0, hãy rút gọn biểu thức: P = $ displaystyle left| 2x-sqrt{{{(5x-1)}^{2}}} right|$
DẠNG 3: Sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình, bất phương trình
Bài tập 13: Giải phương trình:
a) $ displaystyle sqrt{9-12x+4{{x}^{2}}}=4$
b) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=1$
Bài tập 14: Giải phương trình:
a) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}+sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}=3$
b) $ displaystyle sqrt{3{{x}^{2}}-18x+28}+sqrt{4{{x}^{2}}-24x+45}=-5-{{x}^{2}}+6x$
Bài tập 15: Tìm các giá trị của x sao cho: $ displaystyle sqrt{x+1}<x+3$
Bài tập 16: Tìm các giá trị của x sao cho:
| a) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-3}le {{x}^{2}}-3$ | b) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}>x-6$ |
Bài tập 17: Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức:
$ displaystyle x+y+z+8=2sqrt{x-1}+4sqrt{y-2}+6sqrt{z-3}$
Bài tập 18: Cho biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}-sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}$
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài tập 19: Cho biểu thức: A = $ displaystyle 4x-sqrt{9{{x}^{2}}-12x+4}$
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A với x = $ displaystyle frac{2}{7}$.
Bài tập 20: Cho biểu thức: B = $ displaystyle 5x+sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}$
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để B = –9
Bài tập 21: Tìm x biết rằng: $ displaystyle sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}le 5-x$
Bài tập 22: Giải các phương trình:
| a) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}=sqrt{x+1}$ | b) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-9}+sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}=0$ |
| c) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-4}-{{x}^{2}}+4=0$ |
Bài tập 23: Giải các phương trình:
a) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}+sqrt{{{x}^{2}}-4x+8}+sqrt{{{x}^{2}}-4x+9}=3+sqrt{5}$
b) $ displaystyle sqrt{2-{{x}^{2}}+2x}+sqrt{-{{x}^{2}}-6x-8}=1+sqrt{3}$
c) $ displaystyle sqrt{9{{x}^{2}}-6x+2}+sqrt{45{{x}^{2}}-30x+9}=sqrt{6x-9{{x}^{2}}+8}$
DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Bài tập 24: Tìm GTNN của biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}+sqrt{{{x}^{2}}-2x+1}$
Bài tập 25: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = $ displaystyle sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}+sqrt{4{{x}^{2}}-12x+9}$
b) B = $ displaystyle sqrt{49{{x}^{2}}-42x+9}+sqrt{49{{x}^{2}}+42x+9}$
Bài tập 26:
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = $ displaystyle sqrt{-{{x}^{2}}+x+frac{3}{4}}$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = $ displaystyle sqrt{4{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}(x+1)+{{(x+1)}^{2}}+9}$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = $ displaystyle sqrt{25{{x}^{2}}-20x+4}+sqrt{25{{x}^{2}}}$