Bài 1: Tìm x, biết:
a) $ 4left( 18-5x right)-12left( 3x-7 right)=15left( 2x-16 right)-6left( x+14 right)$
b) $ 3left( 2x-1 right)left( 3x+1 right)-left( 2x-3 right)left( 9x-1 right)=0$
c) $ 2{{left( x+1 right)}^{2}}+{{left( x+3 right)}^{2}}=3left( x-2 right)left( x+1 right)$
d) $ 4{{left( 2x+1 right)}^{2}}+left( 4x+2 right)left( 2-6x right)+{{left( 3x-1 right)}^{2}}=0$
e) $ {{left( {{x}^{2}}+x+4 right)}^{2}}+8xleft( {{x}^{2}}+x+4 right)+15{{x}^{2}}=0$
g) $ 4{{x}^{4}}-37{{x}^{2}}+9=0$
h) $ {{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-12x-20=0$
k) $ 2{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+25x+15=0$
Bài 2: Cho $ a+b+c=2p$. Chứng minh rằng: $ 2bc+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}=4pleft( p-a right)$
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x.
a) $ 9{{x}^{2}}-6x+2$ b) $ {{x}^{2}}+x+1$
c) $ 2{{x}^{2}}+2x+1$ d) $ {{x}^{2}}-x+1$
Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của x.
$ A=-{{x}^{2}}+2x-7$ $ B=-5{{x}^{2}}+20x-19$
Bài 5: Tìm GTNN của:
$ A={{x}^{2}}-3x+5$ $ B=5{{x}^{2}}-4x+2005$
$ C={{left( 2x-1 right)}^{2}}+{{left( x+2 right)}^{2}}$ $ D={{x}^{2}}-2xy+2{{y}^{2}}+2x-10y+17$
$ E=left( 4{{x}^{5}}+2{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-x-1 right):left( 2{{x}^{3}}+x-1 right)$
Bài 6: Tìm GTLN của:
$ A=4-{{x}^{2}}+2x$ $ B=-3{{x}^{2}}+4x-2004$
$ C=-5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+123$ $ D=2:left( 3{{x}^{2}}-4x+8 right)$
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất:
$ A={{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right)}^{2}}-{{left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right)}^{2}}$
$ B=left( 3{{x}^{3}}+3x+1 right)left( 3{{x}^{3}}-3x+1 right)-{{left( 3{{x}^{3}}+1 right)}^{2}}$
Bài 8: Tìm số tự nhiên n để giá trị các biểu thức sau là số nguyên tố:
a) $ {{n}^{4}}+4$
b) $ {{n}^{4}}-11{{n}^{2}}+25$
c) $ {{left( {{n}^{2}}-15 right)}^{2}}+64$
Bài 9: Chứng minh:
a) $ {{2}^{35}}+292$ chia hết cho 260
b) $ {{n}^{2}}+3n+5$ không chia hết cho 121
Bài 10: CMR: $ B={{a}^{4}}-4{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}+16a$ chia hết cho 384 (với a là số tự nhiên chẵn, a > 4)
Bài 11: Tìm số tự nhiên n để số A là số chính phương với $ A={{n}^{2}}-n+2$.
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử
$ A={{left( {{x}^{2}}+4x+8 right)}^{2}}+3xleft( {{x}^{2}}+4x+8 right)+2{{x}^{2}}$ $ B=left( x+1 right)left( x+2 right)left( x+3 right)left( x+4 right)-24$
$ C=4left( {{x}^{2}}+15x+50 right)left( {{x}^{2}}+18x+72 right)-3{{x}^{2}}$ $ D={{x}^{11}}+x+1$
$ E={{left( {{x}^{2}}-8 right)}^{2}}+36$ $ F={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-11x-5$
Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Biểu thưc $ M=4{{a}^{2}}{{b}^{2}}-left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right)$ có thể nhận giá trị âm hay không?
Bài 14: Tìm số hữu tỉ a, b sao cho đa thức:
a) $ 6{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+3x+2$ chia hết cho $ {{x}^{2}}-x+b$
b) $ 2{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-7x+3$ chia hết cho $ {{x}^{2}}-x+b$
Bài 15: Cho $ left( x+y right)left( y+z right)left( z+x right)=8xyz$ với x, y, z là các số dương. Chứng minh: $ x=y=z$
Bài 16: Tìm số nguyên x để thương của phép chia sau có giá trị nguyên:
a) $ left( 3{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}-7x+5 right);left( 3x-2 right)$
b) $ left( 2{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}-45 right):left( 2{{x}^{2}}-7 right)$
c) $ left( {{x}^{6}}-{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+9 right):left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}} right)$
d) $ left[ {{x}^{3}}{{left( {{x}^{2}}-7 right)}^{2}}-36x right]:5040$