Bài 1: Tìm x, biết:
a) 4left(18−5xright)−12left(3x−7right)=15left(2x−16right)−6left(x+14right)
b) 3left(2x−1right)left(3x+1right)−left(2x−3right)left(9x−1right)=0
c) 2left(x+1right)2+left(x+3right)2=3left(x−2right)left(x+1right)
d) 4left(2x+1right)2+left(4x+2right)left(2−6xright)+left(3x−1right)2=0
e) left(x2+x+4right)2+8xleft(x2+x+4right)+15x2=0
g) 4x4−37x2+9=0
h) x4+3x3+x2−12x−20=0
k) 2x4+5x3+13x2+25x+15=0
Bài 2: Cho a+b+c=2p. Chứng minh rằng: 2bc+b2+c2−a2=4pleft(p−aright)
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x.
a) 9x2−6x+2 b) x2+x+1
c) 2x2+2x+1 d) x2−x+1
Bài 4: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của x.
A=−x2+2x−7 B=−5x2+20x−19
Bài 5: Tìm GTNN của:
A=x2−3x+5 B=5x2−4x+2005
C=left(2x−1right)2+left(x+2right)2 D=x2−2xy+2y2+2x−10y+17
E=left(4x5+2x4+4x3−x−1right):left(2x3+x−1right)
Bài 6: Tìm GTLN của:
A=4−x2+2x B=−3x2+4x−2004
C=−5x4+3x2+123 D=2:left(3x2−4x+8right)
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất:
A=left(a2+b2−c2right)2−left(a2−b2+c2right)2
B=left(3x3+3x+1right)left(3x3−3x+1right)−left(3x3+1right)2
Bài 8: Tìm số tự nhiên n để giá trị các biểu thức sau là số nguyên tố:
a) n4+4
b) n4−11n2+25
c) left(n2−15right)2+64
Bài 9: Chứng minh:
a) 235+292 chia hết cho 260
b) n2+3n+5 không chia hết cho 121
Bài 10: CMR: B=a4−4a3−4a2+16a chia hết cho 384 (với a là số tự nhiên chẵn, a > 4)
Bài 11: Tìm số tự nhiên n để số A là số chính phương với A=n2−n+2.
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử
A=left(x2+4x+8right)2+3xleft(x2+4x+8right)+2x2 B=left(x+1right)left(x+2right)left(x+3right)left(x+4right)−24
C=4left(x2+15x+50right)left(x2+18x+72right)−3x2 D=x11+x+1
E=left(x2−8right)2+36 F=x4−x3+2x2−11x−5
Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Biểu thưc M=4a2b2−left(a2+b2−c2right) có thể nhận giá trị âm hay không?
Bài 14: Tìm số hữu tỉ a, b sao cho đa thức:
a) 6x4−7x3+ax2+3x+2 chia hết cho x2−x+b
b) 2x4−6x3+ax2−7x+3 chia hết cho x2−x+b
Bài 15: Cho left(x+yright)left(y+zright)left(z+xright)=8xyz với x, y, z là các số dương. Chứng minh: x=y=z
Bài 16: Tìm số nguyên x để thương của phép chia sau có giá trị nguyên:
a) left(3x3+13x2−7x+5right);left(3x−2right)
b) left(2x5+4x4−7x3−45right):left(2x2−7right)
c) left(x6−x4−2x2+9right):left(x4+x2right)
d) left[x3left(x2−7right)2−36xright]:5040