BÀI TẬP TUẦN 6
– Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
– Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 3−sqrt3+sqrt15−3sqrt5
b) sqrt1−m+sqrt1−m2 với -1 < m < 1
c) a−b+sqrtab2−sqrtb3 với a>0;,,b>0
d) sqrtx3−sqrty3+sqrtx2y−sqrtxy2 với x>0;,,y>0
Bài 2: Tính
a) fracsqrt5−sqrt3sqrt5+sqrt3+fracsqrt5+sqrt3sqrt5−sqrt3
b) frac32sqrt2−3sqrt3−frac32sqrt2+3sqrt3
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) frac11+sqrt2+frac1sqrt2+sqrt3+….+frac1sqrt99+sqrt100=9
b) frac1sqrt2+frac1sqrt3+……+frac1sqrt225<28
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
sqrtcleft(a−cright)+sqrtcleft(b−cright)−sqrtable0 với a>c;,,b>c
Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
A=sqrtm−3+sqrtn−4 biết m+n=8
Bài 6: Cho DeltaABC vuông tại A, widehatB=300;,,BC=a. Tính cạnh AB, AC.
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
a) frac3cot6002cos2300−1
b) fraccos6001+sin600+frac1tan300
Bài 8: Dựng góc alpha biết:
a) sinalpha=frac25
b) displaystyletextcosos=0,2
c) tanalpha=0,4
d) cotalpha=frac12
Hướng dẫn:
Bài 3:
a) frac11+sqrt2+frac1sqrt2+sqrt3+….+frac1sqrt99+sqrt100
beginarrayl=,,,frac1−sqrt21−2+fracsqrt2−sqrt32−3+…..+fracsqrt99−sqrt10099−100=,,,sqrt100−1,,,=,,,10−1,,,=,,,9endarray
b) Ta có:
beginarraylfrac12left(frac1sqrt2+frac1sqrt3+……+frac1sqrt225right)=frac12sqrt2+frac12sqrt3+….+frac12sqrt225<frac1sqrt1+sqrt2+frac1sqrt2+sqrt3+……+frac1sqrt224+sqrt225=frac1−sqrt21−2+fracsqrt2−sqrt32−3+……+fracsqrt224−sqrt225224−225=sqrt225−1,,=,,15−1=14endarray
Do đó frac1sqrt2+frac1sqrt3+……+frac1sqrt225<28
Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT sqrtcleft(a−cright)+sqrtcleft(b−cright)lesqrtab đều dương. Bình phương hai vế, ta được:
beginarrayl,,,,,,,cleft(a−cright)+cleft(b−cright)+2csqrtleft(a−cright)left(b−cright)leabLeftrightarrow2csqrtleft(a−cright)left(b−cright)leab−cleft(a−cright)+cleft(b−cright)Leftrightarrow2csqrtleft(a−cright)left(b−cright)lec2+left(a−cright)left(b−cright)Leftrightarrowc2+left(a−cright)left(b−cright)−2csqrtleft(a−cright)left(b−cright)ge0Leftrightarrowleft[c−sqrtleft(a−cright)left(b−cright)right]2ge0,,,,,,,,,,,,,,left(1right)endarray
BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.