BÀI TẬP TUẦN 6
– Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
– Hệ thức về cạnh & góc trong tam giác vuông
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $ 3-sqrt{3}+sqrt{15}-3sqrt{5}$
b) $ sqrt{1-m}+sqrt{1-{{m}^{2}}}$ với -1 < m < 1
c) $ a-b+sqrt{a{{b}^{2}}}-sqrt{{{b}^{3}}}$ với $ a>0;,,b>0$
d) $ sqrt{{{x}^{3}}}-sqrt{{{y}^{3}}}+sqrt{{{x}^{2}}y}-sqrt{x{{y}^{2}}}$ với $ x>0;,,y>0$
Bài 2: Tính
a) $ frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}+frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}$
b) $ frac{3}{2sqrt{2}-3sqrt{3}}-frac{3}{2sqrt{2}+3sqrt{3}}$
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) $ frac{1}{1+sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}+….+frac{1}{sqrt{99}+sqrt{100}}=9$
b) $ frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+……+frac{1}{sqrt{225}}<28$
Bài 4: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
$ sqrt{cleft( a-c right)}+sqrt{cleft( b-c right)}-sqrt{ab}le 0$ với $ a>c;,,b>c$
Bài 5: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
$ A=sqrt{m-3}+sqrt{n-4}$ biết $ m+n=8$
Bài 6: Cho $ Delta ABC$ vuông tại A, $ widehat{B}={{30}^{0}};,,BC=a$. Tính cạnh AB, AC.
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
a) $ frac{3cot {{60}^{0}}}{2{{cos }^{2}}{{30}^{0}}-1}$
b) $ frac{cos {{60}^{0}}}{1+sin {{60}^{0}}}+frac{1}{tan {{30}^{0}}}$
Bài 8: Dựng góc $ alpha $ biết:
a) $ sin alpha =frac{2}{5}$
b) $ displaystyle text{cosos}=0,2$
c) $ tan alpha =0,4$
d) $ cot alpha =frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Bài 3:
a) $ frac{1}{1+sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}+….+frac{1}{sqrt{99}+sqrt{100}}$
$ begin{array}{l}=,,,frac{1-sqrt{2}}{1-2}+frac{sqrt{2}-sqrt{3}}{2-3}+…..+frac{sqrt{99}-sqrt{100}}{99-100}=,,,sqrt{100}-1,,,=,,,10-1,,,=,,,9end{array}$
b) Ta có:
$ begin{array}{l}frac{1}{2}left( frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+……+frac{1}{sqrt{225}} right)=frac{1}{2sqrt{2}}+frac{1}{2sqrt{3}}+….+frac{1}{2sqrt{225}}<frac{1}{sqrt{1}+sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{2}+sqrt{3}}+……+frac{1}{sqrt{224}+sqrt{225}}=frac{1-sqrt{2}}{1-2}+frac{sqrt{2}-sqrt{3}}{2-3}+……+frac{sqrt{224}-sqrt{225}}{224-225}=sqrt{225}-1,,=,,15-1=14end{array}$
Do đó $ frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+……+frac{1}{sqrt{225}}<28$
Bài 4: Theo giả thiết a, b, c > 0 và a > c; b > c nên hai vế của BĐT $ sqrt{cleft( a-c right)}+sqrt{cleft( b-c right)}le sqrt{ab}$ đều dương. Bình phương hai vế, ta được:
$ begin{array}{l},,,,,,,cleft( a-c right)+cleft( b-c right)+2csqrt{left( a-c right)left( b-c right)}le abLeftrightarrow 2csqrt{left( a-c right)left( b-c right)}le ab-cleft( a-c right)+cleft( b-c right)Leftrightarrow 2csqrt{left( a-c right)left( b-c right)}le {{c}^{2}}+left( a-c right)left( b-c right)Leftrightarrow {{c}^{2}}+left( a-c right)left( b-c right)-2csqrt{left( a-c right)left( b-c right)}ge 0Leftrightarrow {{left[ c-sqrt{left( a-c right)left( b-c right)} right]}^{2}}ge 0,,,,,,,,,,,,,,left( 1 right)end{array}$
BĐT (1) luôn đúng nên BĐT phải chứng minh là đúng.