Bản chất : Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Ứng dụng :Tính nhanh, giải các bài toán về tìm x, giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, rút gọn biểu thức.
Dạng 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp : Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.
A + B = C.A1 + C.B1 = C(A1 + B1)
Bài toán 1: Phân tích thành nhân tử.
a) 20x – 5y e) 4x2y – 8xy2 + 10x2y2
b) 5x(x – 1) – 3x(x – 1) g) 20x2y – 12x3
c) x(x + y) – 6x – 6y h) 8x4 + 12x2y4 – 16x3y4
d) 6x3 – 9x2 k) 4xy2 + 8xyz
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) 3x(x +1) – 5y(x + 1) h) 3x3(2y – 3z) – 15x(2y – 3z)2
b) 3x(x – 6) – 2(x – 6) k) 3x(z + 2) + 5(-x – 2)
c) 4y(x – 1) – (1 – x) l) 18x2(3 + x) + 3(x + 3)
d) (x – 3)3 + 3 – x m) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2
e) 7x(x – y) – (y – x) n) 10x(x – y) – 8y(y – x)
Bài toán 3 : Tìm x biết.
a) 4x(x + 1) = 8(x + 1) g) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0
b) x(x – 1) – 2(1 – x) = 0 h) x2 – 4x = 0
c) 2x(x – 2) – (2 – x)2 = 0 k) (1 – x)2 – 1 + x = 0
d) (x – 3)3 + 3 – x = 0 m) x + 6x2 = 0
e) 5x(x – 2) – (2 – x) = 0 n) (x + 1) = (x + 1)2
DẠNG 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp : Biến đổi đa thức bạn đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiên nhân tử chung.
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 4x2 – 1 b) 25x2 – 0,09 c) 9x2 – $ displaystyle $
d) (x – y)2 – 4 e) 9 – (x – y)2 f) (x2 + 4)2 – 16x2
Bài toán 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x4 – y4 b) x2 – 3y2 (3x – 2y)2 – (2x – 3y)2
d) 9(x – y)2 – 4(x + y)2 e) (4x2 – 4x + 1) – (x + 1)2
f) x3 + 27 g) 27x3 – 0,001
h) 125x3 – 1
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x4 + 2x2 + 1 b) 4x2 – 12xy + 9y2
c) -x2 – 2xy – y2 d) (x + y)2 – 2(x + y) + 1
e) x3 – 3x2 + 3x – 1 g) x3 + 6x2 + 12x + 8
h) x3 + 1 – x2 – x k) (x + y)3 – x3 – y3
Bài toán 4 : Tìm x biết.
a) 4x2 – 49 = 0 b) x2 + 36 = 12x
c) $ displaystyle $x2 – x + 4 = 0
d) x3 -3√3x2 + 9x – 3√3 = 0
e) (x – 2)2 – 16 = 0 f) x2 – 5x – 14 = 0
g) 8x(x – 3) + x – 3 = 0
Dạng 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Bài toàn 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 – x – y2 – y b) x2 – 2xy + y2 – z2
c) 5x – 5y + ax – ay d) a3 – a2x – ay + xy
e) 4x2 – y2 + 4x + 1 f) x3 – x + y3 – y
Bài toán 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 10(- y) – 8y(y – ) b) 2y + 3z + 6y + y
Bài toán 3 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 2x + 2y b) 2x + 2y – x2 – xy
c) 3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2 d) x2 – 25 + y2 + 2xy
e) a2 + 2ab + b2 – ac – bc f) x2 – 2x – 4y2 – 4y
g) x2y – x3 – 9y + 9x h) x2(x -1) + 16(1- x)
Dạng 4 : Phương pháp thêm, bớt một hạng tử
Ví dụ :
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 – 16y2
= (y2 + 8)2 – (4y)2
= (y2 + 8 – 4y)(y2 + 8 + 4y)
b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 – 4x = (x + 2)2 – 4x
= (x + 2)2 – $ displaystyle {{left( 2sqrt{x} right)}^{2}}$= $ displaystyle left( x-2sqrt{x}+2 right)left( x+2sqrt{x}+2 right)$
Bài toán 1 : phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x4 + 16 b) x4y4 + 64 c) x4y4 + 4
d) 4x4y4 + 1 e) x4 + 1 f) x8 + x + 1
g) x8 + x7 + 1 h) x8 + 3x4 + 1 k) x4 + 4y4
Bài toán 2 : phân tích đa thức thành nhân tử :
a) a2 – b2 – 2x(a – b)
b) a2 – b2 – 2x(a + b)
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x4y4 + 4 b) 4x4 + 1
c) 64x4 + 1 d) x4 + 64
Dạng 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương cách phối hợp nhiều phương pháp
Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) 16x4(x – y) – x + y b) 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
- c) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
Bài toán 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 16x3 – 54y3 b) 5x2 – 5y2
c) 16x3y + $ displaystyle $yz3 d) 2x4 – 32
Bài toán 3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 4x – 4y + x2 – 2xy + y2 b) x4 – 4x3 – 8x2 + 8x
c) x3 + x2 – 4x – 4 d) x4 – x2 + 2x – 1
e) x4 + x3 + x2 + 1 f) x3 – 4x2 + 4x – 1
Bài toán 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x3 + x2y – xy2 – y3 b) x2y2 + 1 – x2 – y2
c) x2 – y2 – 4x + 4y d) x2 – y2 – 2x – 2y
e) x2 – y2 – 2x – 2y f) x3 – y3 – 3x + 3y
Bài toán 5 : Tìm x, biết.
a) x3 – x2 – x + 1 = 0 b) (2x3 – 3)2 – (4x2 – 9) = 0
c) x4 + 2x3 – 6x – 9 = 0 d) 2(x + 5) – x2 – 5x = 0
Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A = x2 – x + 1 d) D = x2 + y2 – 4(x + y) + 16
b) B = 4x2 + y2 – 4x – 2y + 3 e) E = x2 + 5x + 8
c) C = x2 + x + 1 g) G = 2x2 + 8x + 9
Bài toán 7 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) A = -4x2 – 12x b) B = 3 – 4x – x2
c) C = x2 + 2y2 + 2xy – 2y d) D = 2x – 2 – 3x2
e) E = 7 – x2 – y2 – 2(x + y)