A– LÝ THUYẾT
I . Căn bậc hai:
| 1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x2 = a.
– Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là $ displaystyle sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $ displaystyle -sqrt{a}$. – Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết $ displaystyle sqrt{0}=0$ – Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức $ displaystyle sqrt{a}$ không có nghĩa hay không xác định. |
| 2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x2 = a.
Với a ≥ 0, ta có: – Số x là căn bậc hai số học của a thì x = $ displaystyle sqrt{a}$ $ displaystyle x=sqrt{a}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0{{x}^{2}}={{left( sqrt{a} right)}^{2}}=aend{array} right.$ – $ displaystyle sqrt{a}ge 0$ và $ displaystyle {{(sqrt{a})}^{2}}=a$ |
| 3. Với a, b là các số dương, ta có:
a) Nếu a < b thì $ displaystyle sqrt{a}<sqrt{b}$ b) Nếu $ displaystyle sqrt{a}<sqrt{b}$ thì a < b. |
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học
Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:
| a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;
b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09; c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9; |
d) $ displaystyle sqrt{0,81}=0,9$
e) $ displaystyle sqrt{0,81}=pm 0,9$ |
Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:
| a) Số 3 không có căn bậc hai.
b) Căn bậc hai của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$ c) Căn bậc hai của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$ và $ displaystyle -sqrt{3}$ |
d) Căn bậc hai số học của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$
e) Căn bậc hai số học của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$ và $ displaystyle -sqrt{3}$ |
Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
16; 25; 144; 0,09; 225; $ displaystyle frac{9}{16}$; 121; 10 000; 0,01.
DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ
Bài tập 3: Chứng minh $ displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.
Giải:
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử $ displaystyle sqrt{5}$ là số hữu tỉ.
Như vậy $ displaystyle sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $ displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$, tức là $ displaystyle sqrt{5}=frac{text{m}}{text{n}}$.
Suy ra $ displaystyle {{(sqrt{5})}^{2}}={{left( frac{text{m}}{text{n}} right)}^{2}}$ hay 5n2 = m2 (1).
Đẳng thức này chứng tỏ m2 $ displaystyle vdots $ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m $ displaystyle vdots $ 5.
Đặt m = 5k (k $ displaystyle in mathbb{Z}$), ta có m2 = 25k2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2 $ displaystyle vdots $ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n $ displaystyle vdots $ 5.
m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $ displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$ không tối giản, trái với giả thiết.
Vậy $ displaystyle sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $ displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.
Bài tập 4: Chứng minh rằng:
| a) $ displaystyle sqrt{3}$ là số vô tỉ
b) $ displaystyle sqrt{7}$ là số vô tỉ |
c) $ displaystyle sqrt{3}+1$ là số vô tỉ
d) $ displaystyle sqrt{1+sqrt{2}}$ là số vô tỉ |
DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn
Bài tập 5: Giải phương trình:
| Chú ý phương trình dạng: $ displaystyle sqrt{a}=xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0{{x}^{2}}={{left( sqrt{a} right)}^{2}}=aend{array} right.$
Lưu ý: Nếu x < 0 Þ phương trình vô nghiệm |
|||
| a) $ displaystyle sqrt{x}=15$
b) $ displaystyle sqrt{x}-1=3$ c) $ displaystyle 2sqrt{x}=14$ |
d) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$
e) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$ f) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$ |
||
Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:
| a) $ displaystyle sqrt{x}<sqrt{4}$ | b) $ displaystyle sqrt{2x}<4$ |
DẠNG 4: So sánh các số có căn
Bài tập 7: So sánh hai số:
| a) $ displaystyle 2sqrt{3}$ và $ displaystyle 3sqrt{2}$
b) $ displaystyle 6sqrt{5}$ và $ displaystyle 5sqrt{6}$ |
c) $ displaystyle 3sqrt{26}$ và 15
d) $ displaystyle -5sqrt{35}$ và –30 |
Bài tập 8: So sánh hai số:
| a) $ displaystyle sqrt{7}+sqrt{15}$ với 7
b) $ displaystyle sqrt{24}+sqrt{45}$ với 12 |
c) $ displaystyle sqrt{2}+sqrt{11}$ với $ displaystyle sqrt{3}+5$
d) $ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}$ với 2 |
Bài tập 9: So sánh hai số:
| a) $ displaystyle sqrt{8}+sqrt{15}$ với $ displaystyle sqrt{65}-1$ | b) $ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}$ và $ displaystyle sqrt{2}$ |
Bài tập 10: So sánh các số:
| a) $ displaystyle frac{30+2sqrt{45}}{4}$ và 12 | b) $ displaystyle sqrt{5sqrt{3}}$ với $ displaystyle sqrt{3sqrt{5}}$ |
Hướng dẫn và đáp số:
Bài tập 1: Câu c) d) đúng
Bài tập 2: Câu c) d) đúng
Bài tập 4:
a) b) Chứng minh tương tự bài 3
c) Giả sử $ displaystyle sqrt{3}+1$ là một số hữu tỉ. Đặt $ displaystyle sqrt{3}+1=x$ (x $ displaystyle in mathbb{Q}$), ta có:
$ displaystyle {{left( sqrt{3}+1 right)}^{2}}={{x}^{2}}Leftrightarrow 3+2sqrt{3}+1={{x}^{2}}Leftrightarrow sqrt{3}=frac{{{x}^{2}}-4}{2}$
Vì x là số hữu tỉ nên x2 – 4 là số hữu tỉ, do đó $ displaystyle frac{{{x}^{2}}-4}{2}$ là số hữu tỉ.
Như vậy $ displaystyle sqrt{3}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy $ displaystyle sqrt{3}+1$ là số vô tỉ.
d) Giả sử $ displaystyle sqrt{1+sqrt{2}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì $ displaystyle sqrt{2}$ = m2 – 1 nên $ displaystyle sqrt{2}$ là số hữu tỉ, vô lý.
Bài tập 5: Giải phương trình:
| a) $ displaystyle sqrt{x}-1=3$
$ displaystyle Leftrightarrow sqrt{x}=3+1=4$ $ displaystyle Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16$ Vậy … |
b) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$
$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{2}^{2}}=4$ $ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-1=3$ $ displaystyle Leftrightarrow x=sqrt{3}$ Vậy … |
c) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$
$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+20={{4}^{2}}=16$ $ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0$ $ displaystyle Leftrightarrow (x+1)(x+4)=0$ $ displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1x=-4end{array} right.$ Vậy … |
d) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$
Do –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm |
Bài tập 7: So sánh hai số:
a) $ displaystyle 2sqrt{3}$ và $ displaystyle 3sqrt{2}$
Có: $ displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{left( sqrt{3} right)}^{2}}=4.3=12$; $ displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{left( sqrt{2} right)}^{2}}=9.2=18$
Do 12 < 18 nên $ displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}$ < $ displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}$ hay $ displaystyle 2sqrt{3}$ < $ displaystyle 3sqrt{2}$
b) $ displaystyle 6sqrt{5}$ và $ displaystyle 5sqrt{6}$
Có: $ displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{left( sqrt{5} right)}^{2}}=36.5=180$; $ displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{left( sqrt{6} right)}^{2}}=25.6=150$
Do 180 > 150 nên $ displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}$ > $ displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}$ hay $ displaystyle 6sqrt{5}$ > $ displaystyle 5sqrt{6}$
c) $ displaystyle 3sqrt{26}$ và 15
Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: $ displaystyle sqrt{26}$ và 5
Bài tập 8: So sánh hai số:
$ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}$ với 2
Có: $ displaystyle 37>36Rightarrow sqrt{37}>sqrt{36}$;
$ displaystyle sqrt{15}<sqrt{16}Rightarrow -sqrt{15}>-sqrt{16}$
Nên $ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}>sqrt{36}-sqrt{16}=6-4=2$
Bài tập 9: So sánh hai số:
$ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>frac{13-2sqrt{4}}{6}=1,5$
Mặt khác: (1,5)2 = 2,25; $ displaystyle {{left( sqrt{2} right)}^{2}}=2$
Suy ra: 1,5 > $ displaystyle sqrt{2}$, do đó: $ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>sqrt{2}$