Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức

A– LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16;        25;        144;        0,09;        225;        $displaystyle frac{9}{16}$;        121;        10 000;        0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ

Bài tập 3: Chứng minh $displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử $displaystyle sqrt{5}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $displaystyle sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$, tức là $displaystyle sqrt{5}=frac{text{m}}{text{n}}$.

Suy ra $displaystyle {{(sqrt{5})}^{2}}={{left( frac{text{m}}{text{n}} right)}^{2}}$ hay 5n² = m²               (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m² $displaystyle vdots$ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m $displaystyle vdots$ 5.

Đặt m = 5k (k $displaystyle in mathbb{Z}$), ta có m² = 25k²             (2).

Từ (1) và (2) suy ra 5n² = 25k² nên n² = 5k² (3).

Từ (3) ta lại có n² $displaystyle vdots$ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n $displaystyle vdots$ 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$ không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy $displaystyle sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn

Bài tập 5: Giải phương trình:

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

DẠNG 4: So sánh các số có căn

Bài tập 7: So sánh hai số:

Bài tập 8: So sánh hai số:

Bài tập 9: So sánh hai số:

Bài tập 10: So sánh các số:

Hướng dẫn và đáp số:

Bài tập 1: Câu c) d) đúng

Bài tập 2: Câu c) d) đúng

Bài tập 4:   

a) b) Chứng minh tương tự bài 3

c) Giả sử $displaystyle sqrt{3}+1$ là một số hữu tỉ. Đặt $displaystyle sqrt{3}+1=x$ (x $displaystyle in mathbb{Q}$), ta có:

$displaystyle {{left( sqrt{3}+1 right)}^{2}}={{x}^{2}}Leftrightarrow 3+2sqrt{3}+1={{x}^{2}}Leftrightarrow sqrt{3}=frac{{{x}^{2}}-4}{2}$

Vì x là số hữu tỉ nên x² – 4 là số hữu tỉ, do đó $displaystyle frac{{{x}^{2}}-4}{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $displaystyle sqrt{3}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy $displaystyle sqrt{3}+1$ là số vô tỉ.

d) Giả sử $displaystyle sqrt{1+sqrt{2}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì $displaystyle sqrt{2}$ = m² – 1 nên $displaystyle sqrt{2}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 5: Giải phương trình:

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) $displaystyle 2sqrt{3}$ và $displaystyle 3sqrt{2}$

Có: $displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{left( sqrt{3} right)}^{2}}=4.3=12$;             $displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{left( sqrt{2} right)}^{2}}=9.2=18$

Do 12 < 18 nên $displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}$ < $displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}$ hay $displaystyle 2sqrt{3}$ < $displaystyle 3sqrt{2}$

b) $displaystyle 6sqrt{5}$ và $displaystyle 5sqrt{6}$

Có: $displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{left( sqrt{5} right)}^{2}}=36.5=180$;             $displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{left( sqrt{6} right)}^{2}}=25.6=150$

Do 180 > 150 nên $displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}$ > $displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}$ hay $displaystyle 6sqrt{5}$ > $displaystyle 5sqrt{6}$

c) $displaystyle 3sqrt{26}$ và 15

Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: $displaystyle sqrt{26}$ và 5

Bài tập 8: So sánh hai số:

$displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}$ với 2

Có: $displaystyle 37>36Rightarrow sqrt{37}>sqrt{36}$;

$displaystyle sqrt{15}<sqrt{16}Rightarrow -sqrt{15}>-sqrt{16}$

Nên $displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}>sqrt{36}-sqrt{16}=6-4=2$

Bài tập 9: So sánh hai số:

$displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>frac{13-2sqrt{4}}{6}=1,5$

Mặt khác: (1,5)² = 2,25;     $displaystyle {{left( sqrt{2} right)}^{2}}=2$

Suy ra: 1,5 > $displaystyle sqrt{2}$, do đó: $displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>sqrt{2}$