Đại số 9 – Chuyên đề 2 – Nhân, chia căn thức bậc hai (tiếp)

C – Hướng dẫn – trả lời – đáp số

DẠNG 1: Thực hiện phép tính.

Bài tập 1: Tính:

a) A = $displaystyle sqrt{{(3+sqrt{{5+2sqrt{3}}})(3-sqrt{{5+2sqrt{3}}})}}=sqrt{{{{3}^{2}}-{{{(sqrt{{5+2sqrt{3}}})}}^{2}}}}$

= $displaystyle sqrt{{9-5-2sqrt{3}}}=sqrt{{4-2sqrt{3}}}=sqrt{{{{{(sqrt{3}-1)}}^{2}}}}=sqrt{3}-1$.

b) B = $displaystyle sqrt{{4+sqrt{4}.sqrt{2}}}.sqrt{{(2+sqrt{{2+sqrt{2}}})(2-sqrt{{2+sqrt{2}}})}}=sqrt{{4+2sqrt{2}}}.sqrt{{{{2}^{2}}-{{{(sqrt{{2+sqrt{2}}})}}^{2}}}}$

= $displaystyle sqrt{{2(2+sqrt{2})}}.sqrt{{2-sqrt{2}}}=sqrt{{2(2+sqrt{2})(2-sqrt{2})}}=sqrt{{2.2}}=2$.

Bài tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $displaystyle sqrt{{36}}+3sqrt{{9.5}}-4sqrt{{{{9}^{2}}.5}}=6+9sqrt{5}-36sqrt{5}=6-27sqrt{5}$;

b) $displaystyle sqrt{{36.7}}-sqrt{{100.7}}+sqrt{{144.7}}-sqrt{{64.7}}=sqrt{7}.(sqrt{{36}}-sqrt{{100}}+sqrt{{144}}-sqrt{{64}})$

= $displaystyle sqrt{7}.(6-10+12-8)=0$;

c) $displaystyle 2sqrt{{40sqrt{{12}}}}-2sqrt{{5sqrt{3}}}-3sqrt{{20sqrt{3}}}=2sqrt{{80sqrt{3}}}-2sqrt{{5sqrt{3}}}-6sqrt{{5sqrt{3}}}$

= $displaystyle 8sqrt{{5sqrt{3}}}-2sqrt{{5sqrt{3}}}-6sqrt{{5sqrt{3}}}=sqrt{{5sqrt{3}}}(8-2-6)=0$.

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

Bài tập 4:

Ta có: $displaystyle sqrt{{frac{3}{5}}}+sqrt{{frac{5}{3}}}=frac{{sqrt{3}}}{{sqrt{5}}}+frac{{sqrt{5}}}{{sqrt{3}}}=frac{8}{{sqrt{{15}}}}$.

Vậy M = $displaystyle sqrt{{15{{{left( {frac{8}{{sqrt{{15}}}}} right)}}^{2}}-8.frac{8}{{sqrt{{15}}}}.sqrt{{15}}+16}}=sqrt{{{{8}^{2}}-{{8}^{2}}+16}}=sqrt{{16}}=4$.

Bài tập 5: Tính:

a) $displaystyle sqrt{{frac{{99999}}{{11111}}}}=sqrt{9}=3$.

b) $displaystyle sqrt{{frac{{{{{84}}^{2}}-{{{37}}^{2}}}}{{47}}}}=sqrt{{frac{{(84+37)(84-37)}}{{47}}}}=sqrt{{frac{{121.47}}{{47}}}}=sqrt{{121}}=11$.

c) $displaystyle sqrt{{frac{{5({{{38}}^{2}}-{{{17}}^{2}})}}{{8({{{47}}^{2}}-{{{19}}^{2}})}}}}=sqrt{{frac{{5(38+17)(38-17)}}{{8(47+19)(47-19)}}}}=sqrt{{frac{{5,,.,,55,,.,,21}}{{8,,.,,66,,.,,28}}}}=sqrt{{frac{{25}}{{64}}}}=frac{5}{8}$.

d) $displaystyle sqrt{{frac{{0,2,,.,,1,21,,.,,0,3}}{{7,5,,.,,3,2,,.,,0,64}}}}=sqrt{{frac{{2.121.3}}{{75.32.64}}}}=sqrt{{frac{{121}}{{25600}}}}=frac{{11}}{{160}}$.

Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính:

a) $displaystyle sqrt{{(27+23)(27-23)}}=sqrt{{50.4}}=sqrt{{{{{2.5}}^{2}}{{{.2}}^{2}}}}=10sqrt{2}$;

b) $displaystyle sqrt{{(37+35)(37-35)}}=sqrt{{72.2}}=sqrt{{144}}=12$;

c) $displaystyle sqrt{{(65+63)(65-63)}}=sqrt{{128.2}}=sqrt{{256}}=16$;

d) $displaystyle sqrt{{(117+108)(117-108)}}=sqrt{{225.9}}=15.3=45$.

Bài tập 7: Tích của hai số là: $displaystyle frac{{sqrt{{19}}+sqrt{7}}}{2}.frac{{sqrt{{19}}-sqrt{7}}}{2}=frac{{19-7}}{4}=3$.

Bài tập 8: Tính $displaystyle sqrt{A}$ biết:

a) A = $displaystyle {{(sqrt{7}-sqrt{6})}^{2}}$; $displaystyle sqrt{A}=sqrt{7}-sqrt{6}$;

b) A = $displaystyle {{(3sqrt{5}+1)}^{2}}$; $displaystyle sqrt{A}=3sqrt{5}+1$;

c) 2A = $displaystyle 24-6sqrt{{15}}={{(sqrt{{15}}-3)}^{2}}$; $displaystyle sqrt{A}=frac{{sqrt{{15}}-3}}{{sqrt{2}}}$.

Bài tập 9: Tính:

a) $displaystyle sqrt{{frac{{6+2sqrt{5}}}{2}}}-sqrt{{frac{{6-2sqrt{5}}}{2}}}-sqrt{2}=frac{{sqrt{{{{{(sqrt{5}+1)}}^{2}}}}}}{{sqrt{2}}}-frac{{sqrt{{{{{(sqrt{5}-1)}}^{2}}}}}}{{sqrt{2}}}-sqrt{2}$

= $displaystyle frac{{sqrt{5}+1-sqrt{5}+1}}{{sqrt{2}}}-sqrt{2}=sqrt{2}-sqrt{2}=0$;

b) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: $displaystyle sqrt{7}-sqrt{2}$;

c) Biến đổi tương tự câu a). Đáp số: $displaystyle 4sqrt{6}$.

Bài tập 10: Thực hiện các phép tính:

a) Viết $displaystyle 4+sqrt{{15}}$ thành $displaystyle sqrt{{4+sqrt{{15}}}}.sqrt{{4+sqrt{{15}}}}$ ta được:

$displaystyle sqrt{{4+sqrt{{15}}}}.sqrt{{4+sqrt{{15}}}}.sqrt{{4-sqrt{{15}}}}.(sqrt{{10}}-sqrt{6})$

= $displaystyle sqrt{{4+sqrt{{15}}}}.1.sqrt{2}.(sqrt{5}-sqrt{3})$

= $displaystyle sqrt{{8+2sqrt{{15}}}}.(sqrt{5}-sqrt{3})=(sqrt{5}+sqrt{3})(sqrt{5}-sqrt{3})=2$.

b) Đáp số: 8.

c) Đặt $displaystyle frac{{sqrt{{sqrt{5}+2}}+sqrt{{sqrt{5}-2}}}}{{sqrt{{sqrt{5}+1}}}}$ = m, $displaystyle sqrt{{3-2sqrt{2}}}$ = n.

Tính m² ta được m² = 2 nên m = $displaystyle sqrt{2}$. Tính n ta được $displaystyle sqrt{2}-1$. Đáp số: 1.

Bài tập 11:

M = $displaystyle frac{{sqrt{{{{{(2x+1)}}^{2}}}}}}{{sqrt{x}.sqrt{x}.left| {2{{x}^{2}}-x-1} right|}}=frac{{2x+1}}{{x.left| {2{{x}^{2}}-x-1} right|}}$.

x = $displaystyle (sqrt{{10}}-sqrt{6}).sqrt{{4+sqrt{{15}}}}=sqrt{2}.(sqrt{5}-sqrt{3}).sqrt{{4+sqrt{{15}}}}$

= $displaystyle (sqrt{5}-sqrt{3}).sqrt{{8+2sqrt{{15}}}}=(sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})=2$.

Vậy M = $displaystyle frac{{2.2+1}}{{2.left| {{{{2.2}}^{2}}-2-1} right|}}=frac{5}{{2.left| 5 right|}}=frac{1}{2}$.

Bài tập 12: Tính:

a)

Q = $displaystyle sqrt{{3-sqrt{5}}}.sqrt{{3+sqrt{5}}}.(sqrt{{3-sqrt{5}}}+sqrt{{3+sqrt{5}}})$

= $displaystyle sqrt{{{{3}^{2}}-{{{(sqrt{5})}}^{2}}}}.(sqrt{{3-sqrt{5}}}+sqrt{{3+sqrt{5}}})$

= $displaystyle 2.(sqrt{{3-sqrt{5}}}+sqrt{{3+sqrt{5}}})=sqrt{2}.sqrt{2}.(sqrt{{3-sqrt{5}}}+sqrt{{3+sqrt{5}}})$

= $displaystyle sqrt{2}.(sqrt{{3-sqrt{5}}}.sqrt{2}+sqrt{{3+sqrt{5}}}.sqrt{2})=sqrt{2}.(sqrt{{6-2sqrt{5}}}+sqrt{{6+2sqrt{5}}})$

= $displaystyle sqrt{2}.(sqrt{{{{{(sqrt{5}-1)}}^{2}}}}+sqrt{{{{{(sqrt{5}+1)}}^{2}}}})=sqrt{2}.(sqrt{5}-1+sqrt{5}+1)=2sqrt{{10}}$;

b) R = $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}.sqrt{{(2+sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}).(2-sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}})}}$

= $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}.sqrt{{4-(2+sqrt{{2+sqrt{3}}})}}$

= $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2+sqrt{{2+sqrt{3}}}}}.sqrt{{2-sqrt{{2+sqrt{3}}}}}$

= $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{(2+sqrt{{2+sqrt{3}}}).(2-sqrt{{2+sqrt{3}}})}}=sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{4-(2+sqrt{3})}}$

= $displaystyle sqrt{{2+sqrt{3}}}.sqrt{{2-sqrt{3}}}=sqrt{{4-3}}=sqrt{1}=1$.

Bài tập 13: So sánh:

a) Ta có: $displaystyle {{(3+sqrt{5})}^{2}}=9+5+6sqrt{5}=14+sqrt{{36}}.sqrt{5}=14+sqrt{{180}}$,

$displaystyle {{(2sqrt{2}+sqrt{6})}^{2}}=8+6+4sqrt{{12}}=14+sqrt{{16}}.sqrt{{12}}=14+sqrt{{192}}$.

Vì 180 < 192 nên $displaystyle 14+sqrt{{180}}$ < $displaystyle 14+sqrt{{192}}$ hay $displaystyle 3+sqrt{5}$ < $displaystyle 2sqrt{2}+sqrt{6}$.

b) Tương tự câu a): $displaystyle 2sqrt{3}+4$ > $displaystyle 3sqrt{2}+sqrt{{10}}$.

c) Cách 1: Ta có: 18² = 324,

$displaystyle {{(sqrt{{15}}.sqrt{{17}})}^{2}}=255$.

Vì 324 > 255 nên 18² > $displaystyle {{(sqrt{{15}}.sqrt{{17}})}^{2}}$ hay 18 > $displaystyle sqrt{{15}}.sqrt{{17}}$.

Cách 2: Ta có: $displaystyle sqrt{{15}}.sqrt{{17}}=sqrt{{16-1}}.sqrt{{16+1}}$

= $displaystyle sqrt{{(16-1).(16+1)}}=sqrt{{{{{16}}^{2}}-1}}<sqrt{{{{{16}}^{2}}}}=16<18$.

Bài tập 14^*:

994. 997² = 997² – 3² + 3² = (997 – 3)(997 + 3) + 3² = 994.1000 + 9 = 994009.
995. $displaystyle A={{(sqrt{A})}^{2}}-16+16=(sqrt{A}-4)(sqrt{A}+4)+16$

= $displaystyle underbrace{{99…9}}_{{100,,chu,so9}}2,,,.,,,1underbrace{{00…0}}_{{101,,chu,,so,,0}}+16=underbrace{{99…9}}_{{100,,chu,,so,,9}}2underbrace{{00…0}}_{{99,,chu,,so,,0}}16$

Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909.

DẠNG 2: Rút gọn biểu thức

Bài tập 15:

• Cách 1:

Có:    $displaystyle 4+sqrt{7}=frac{{8+2sqrt{7}}}{2}={{left( {frac{{sqrt{7}+1}}{{sqrt{2}}}} right)}^{2}}$;          $displaystyle 4-sqrt{7}=frac{{8-2sqrt{7}}}{2}={{left( {frac{{sqrt{7}-1}}{{sqrt{2}}}} right)}^{2}}$

Do đó: M = $displaystyle sqrt{{{{{left( {frac{{sqrt{7}+1}}{{sqrt{2}}}} right)}}^{2}}}}-sqrt{{{{{left( {frac{{sqrt{7}-1}}{{sqrt{2}}}} right)}}^{2}}}}=frac{{sqrt{7}+1}}{{sqrt{2}}}-frac{{sqrt{7}-1}}{{sqrt{2}}}=frac{2}{{sqrt{2}}}=sqrt{2}$.

• Cách 2:

Dễ thấy M > 0.

M² = $displaystyle {{(sqrt{{4+sqrt{7}}}-sqrt{{4-sqrt{7}}})}^{2}}=4+sqrt{7}+4-sqrt{7}-2sqrt{{(4+sqrt{7})(4-sqrt{7})}}$

= $displaystyle 8-2sqrt{9}=2$.

Suy ra M = $displaystyle sqrt{2}$. (Vì M > 0).

• Cách 3:

* Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A² – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng công thức “căn phức tạp”.

$displaystyle sqrt{{Apm B}}=sqrt{{frac{{A+sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}pm sqrt{{frac{{A-sqrt{{{{A}^{2}}-B}}}}{2}}}$

* Trình bày lời giải:

M = $displaystyle sqrt{{4+sqrt{7}}}-sqrt{{4-sqrt{7}}}$

= $displaystyle left( {sqrt{{frac{{4+sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}+sqrt{{frac{{4-sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}} right)-left( {sqrt{{frac{{4+sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}-sqrt{{frac{{4-sqrt{{{{4}^{2}}-7}}}}{2}}}} right)$

= $displaystyle sqrt{{frac{7}{2}}}+sqrt{{frac{1}{2}}}-sqrt{{frac{7}{2}}}+sqrt{{frac{1}{2}}}=2.sqrt{{frac{1}{2}}}=sqrt{2}$.

Bài tập 16: Rút gọn biểu thức:

Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle frac{{sqrt{2}.sqrt{3}+sqrt{2}.sqrt{7}}}{{2sqrt{3}+sqrt{4}.sqrt{7}}}=frac{{sqrt{2}.(sqrt{3}+sqrt{7})}}{{2.(sqrt{3}+sqrt{7})}}=frac{{sqrt{2}}}{2}$;

b) B = $displaystyle frac{{9sqrt{5}+9sqrt{3}}}{{sqrt{5}+sqrt{3}}}=frac{{9.(sqrt{5}+sqrt{3})}}{{sqrt{5}+sqrt{3}}}=9$;

c) C = $displaystyle frac{{(sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4})+sqrt{2}.(sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4})}}{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4}}}=frac{{(1+sqrt{2}).(sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4})}}{{sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{4}}}$

= $displaystyle 1+sqrt{2}$.

d) D = $displaystyle frac{{3.2sqrt{2}-2.2sqrt{3}+2sqrt{5}}}{{3.3sqrt{2}-2.3sqrt{3}+3sqrt{5}}}=frac{{2.(3sqrt{2}-2sqrt{3}+sqrt{5})}}{{3.(3sqrt{2}-2sqrt{3}+sqrt{5})}}=frac{2}{3}$.

Bài tập 18: Tính M² = 2. Đáp số: $displaystyle -sqrt{2}$. (Xem lại cách 2 bài tập 15)

Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức:

a) A = $displaystyle sqrt{{6+2sqrt{2}.sqrt{{3-(sqrt{3}+1)}}}}=sqrt{{6+2sqrt{2}.sqrt{{2-sqrt{3}}}}}=sqrt{{6+2sqrt{{4-2sqrt{3}}}}}$

= $displaystyle sqrt{{6+2(sqrt{3}-1)}}=sqrt{{4+2sqrt{3}}}=1+sqrt{3}$;

b) B = 1;

c) C = 8.

Bài tập 20: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: $displaystyle left{ begin{array}{l}2x-1ge 0xge sqrt{{2x-1}}end{array} right.Leftrightarrow xge frac{1}{2}$

* Cách 1:

$displaystyle Asqrt{2}=sqrt{{2x+2sqrt{{2x-1}}}}-sqrt{{2x-2sqrt{{2x-1}}}}$

= $displaystyle sqrt{{2x-1+2sqrt{{2x-1}}+1}}-sqrt{{2x-1-2sqrt{{2x-1}}+1}}$

= $displaystyle sqrt{{{{{(sqrt{{2x-1}}+1)}}^{2}}}}-sqrt{{{{{(sqrt{{2x-1}}-1)}}^{2}}}}$

= $displaystyle sqrt{{2x-1}}+1-left| {sqrt{{2x-1}}-1} right|$

TH1: Nếu $displaystyle frac{1}{2}le x<1$ thì $displaystyle Asqrt{2}=sqrt{{2x-1}}+1-(1-sqrt{{2x-1}})=2sqrt{{2x-1}}$.

Do đó: A = $displaystyle frac{{2sqrt{{2x-1}}}}{{sqrt{2}}}=sqrt{{4x-2}}$

TH2: Nếu x ≥ 1 thì $displaystyle Asqrt{2}=sqrt{{2x-1}}+1-(sqrt{{2x-1}}-1)=2$

Do đó: A = $displaystyle sqrt{2}$.

* Cách 2:

Đặt $displaystyle sqrt{{2x-1}}$ = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y².

A = $displaystyle frac{{sqrt{{2x+2sqrt{{2x-1}}}}}}{{sqrt{2}}}-frac{{sqrt{{2x-2sqrt{{2x-1}}}}}}{{sqrt{2}}}=frac{{sqrt{{{{y}^{2}}+2y+1}}}}{{sqrt{2}}}-frac{{sqrt{{{{y}^{2}}-2y+1}}}}{{sqrt{2}}}=frac{{y+1}}{{sqrt{2}}}-frac{{left| {y-1} right|}}{{sqrt{2}}}$

TH1: Với 0 ≤ y < 1 (tức là $displaystyle frac{1}{2}le x<1$) thì: A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}left( {y+1+y-1} right)=frac{{2y}}{{sqrt{2}}}=ysqrt{2}=sqrt{{4x-2}}$

TH2: Với y ≥ 1 (tức là x ≥ 1) thì: A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}left( {y+1-y+1} right)=sqrt{2}$

* Cách 3: Xét A² ta có:

A² = $displaystyle (x+sqrt{{2x-1}})+(x-sqrt{{2x-1}})-2left( {sqrt{{(x+sqrt{{2x-1}})(x-sqrt{{2x-1}})}}} right)$

= $displaystyle 2x-2sqrt{{{{x}^{2}}-2x+1}}=2x-2left| {x-1} right|$.

TH1: Với $displaystyle frac{1}{2}le x<1$ thì A² = 2x – 2(1 – x) = 4x – 2, do đó A = $displaystyle sqrt{{4x-2}}$.

TH2: Với x ≥ 1 thì A² = 2, do đó A = $displaystyle sqrt{2}$ (chú ý rằng A ≥ 0).

Bài tập 21: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: $displaystyle left{ begin{array}{l}x-1ge 0xge 2sqrt{{x-1}}end{array} right.Leftrightarrow xge 1$

P = $displaystyle sqrt{{{{{(sqrt{{x-1}}+1)}}^{2}}}}+sqrt{{{{{(sqrt{{x-1}}-1)}}^{2}}}}=sqrt{{x-1}}+1+left| {sqrt{{x-1}}-1} right|$

TH1: Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì P = $displaystyle sqrt{{x-1}}+1+1-sqrt{{x-1}}=2$

TH2: Nếu x > 2 thì P = $displaystyle 2sqrt{{x-1}}$.

Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x < 4 thì A = $displaystyle 2sqrt{2}$. Nếu x ≥ 4 thì A = $displaystyle 2sqrt{{x-2}}$.

Bài tập 23:

a) A = $displaystyle frac{{{{{(x-6)}}^{2}}}}{{left| {5-x} right|}}-frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}$.

Do x < 5 nên 5 – x = 5 – x. Ta có:

A = $displaystyle frac{{{{{(x-6)}}^{2}}}}{{5-x}}-frac{{{{x}^{2}}-36}}{{x-5}}=frac{{{{x}^{2}}-12x+36+{{x}^{2}}-36}}{{5-x}}=frac{{2{{x}^{2}}-12x}}{{5-x}}$.

Tại x = 4 thì A = $displaystyle frac{{{{{2.4}}^{2}}-12.4}}{{5-4}}=-16$

b) Với x ≥ 0 thì $displaystyle sqrt{{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}}$ và $displaystyle sqrt{{x+5}}$ có nghĩa. Giá trị của biểu thức B xác định. Ta có:

B = $displaystyle 5x-sqrt{{125}}+frac{{sqrt{{{{x}^{2}}}}.sqrt{{x+5}}}}{{sqrt{{x+5}}}}=5x-sqrt{{125}}+left| x right|=6x-5sqrt{5}$ (vì x ≥ 0).

Tại x = $displaystyle sqrt{5}$ thì B = $displaystyle 6.sqrt{5}-5sqrt{5}=sqrt{5}$.

Bài tập 24: Rút gọn biểu thức:

a) ĐK: $displaystyle xne pm y$. A = $displaystyle frac{2}{{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}.frac{{sqrt{3}.left| {x+y} right|}}{2}=frac{{2sqrt{3}left| {x+y} right|}}{{2(x-y)(x+y)}}=frac{{sqrt{3}left| {x+y} right|}}{{(x-y)(x+y)}}$

TH1: Nếu x > – y thì x + y > 0, ta có A = $displaystyle frac{{sqrt{3}(x+y)}}{{(x-y)(x+y)}}=frac{{sqrt{3}}}{{x-y}}$

TH1: Nếu x < – y thì x + y < 0, ta có A = $displaystyle frac{{-sqrt{3}(x+y)}}{{(x-y)(x+y)}}=frac{{-sqrt{3}}}{{x-y}}$

b) ĐK: $displaystyle ane frac{1}{2}$. B = $displaystyle frac{{{{a}^{2}}sqrt{5}.left| {1-2a} right|}}{{2a-1}}$

TH1: Nếu $displaystyle a<frac{1}{2}$ thì 1 – 2a > 0, ta có B = $displaystyle -{{a}^{2}}sqrt{5}$.

TH1: Nếu $displaystyle a>frac{1}{2}$ thì 1 – 2a < 0, ta có B = $displaystyle {{a}^{2}}sqrt{5}$.

Bài tập 25:

Đặt A = $displaystyle sqrt{{a+1}}+sqrt{{a+3}}$ > 0;

B = $displaystyle 2sqrt{{a+2}}$ > 0.

Ta có: $displaystyle {{A}^{2}}=2a+4+2sqrt{{(a+1)(a+3)}}$

$displaystyle {{A}^{2}}=2(a+2)+2sqrt{{(a+2-1)(a+2+1)}}$

$displaystyle {{A}^{2}}=2(a+2)+2sqrt{{{{{(a+2)}}^{2}}-1}}$

$displaystyle {{A}^{2}}<2(a+2)+2sqrt{{{{{(a+2)}}^{2}}}}=4(a+2)$ (vì a > 0)

B = 4(a + 2).

Suy ra A² < B² ⇔ A < B (vì A > 0; B > 0).

Bài tập 26: Rút gọn biểu thức:

ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1.

Áp dụng công thức “căn phức tạp” ta tính được:

$displaystyle sqrt{{1+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}=sqrt{{frac{{1+sqrt{{1-1+{{x}^{2}}}}}}{2}}}+sqrt{{frac{{1-sqrt{{1-1+{{x}^{2}}}}}}{2}}}$

= $displaystyle sqrt{{frac{{1+left| x right|}}{2}}}+sqrt{{frac{{1-left| x right|}}{2}}}$

= $displaystyle left{ begin{array}{l}frac{1}{{sqrt{2}}}left( {sqrt{{1+x}}+sqrt{{1-x}}} right),,,,ntilde{O}u,xge 0frac{1}{{sqrt{2}}}left( {sqrt{{1-x}}+sqrt{{1+x}}} right),,,,ntilde{O}u,x<0end{array} right.$

Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả.

$displaystyle sqrt{{{{{(1+x)}}^{3}}}}-sqrt{{{{{(1-x)}}^{3}}}}=left( {sqrt{{1+x}}-sqrt{{1-x}}} right)left[ {(1+x)+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}+(1-x)} right]$

= $displaystyle left( {sqrt{{1+x}}-sqrt{{1-x}}} right)left( {2+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}} right)$.

Vậy M = $displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}frac{{(sqrt{{1+x}}+sqrt{{1-x}})(sqrt{{1+x}}-sqrt{{1-x}})(2+sqrt{{1-{{x}^{2}}}})}}{{2+sqrt{{1-{{x}^{2}}}}}}$

M = $displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}left[ {(1+x)-(1-x)} right]=sqrt{2}x$.

Bài tập 27:

a) A = $displaystyle sqrt{{frac{{{{{({{x}^{2}}+3)}}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}}}+sqrt{{{{{(x-2)}}^{2}}}}=frac{{{{x}^{2}}+3}}{{left| x right|}}+left| {x-2} right|$

TH1: Nếu x < 0 thì A = $displaystyle frac{{-{{x}^{2}}-3}}{x}+2-x=frac{{-{{x}^{2}}-3+2x-{{x}^{2}}}}{x}=frac{{-2{{x}^{2}}+2x-3}}{x}$

TH2: Nếu 0 < x ≤ 2 thì A = $displaystyle frac{{{{x}^{2}}+3}}{x}+2-x=frac{{{{x}^{2}}+3+2x-{{x}^{2}}}}{x}=frac{{2x+3}}{x}$

TH3: Nếu x > 2 thì A = $displaystyle frac{{{{x}^{2}}+3}}{x}+x-2=frac{{{{x}^{2}}+3+{{x}^{2}}-2x}}{x}=frac{{2{{x}^{2}}-2x+3}}{x}$

b) Với x ∈ $displaystyle mathbb{Z}$ thì |x – 2| Î $displaystyle mathbb{Z}$, do đó để A Î $displaystyle mathbb{Z}$ thì $displaystyle {{x}^{2}}+3,,vdots ,,left| x right|$ hay $displaystyle 3,,vdots ,,left| x right|$. Suy ra x = ±1; x = ±3.

Bài tập 28:

a) ĐK: $displaystyle left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-2xge 0xne pm sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x(x-2)ge 0{{x}^{2}}ne {{x}^{2}}-2xend{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}xge 2x<0end{array} right.$.

b) A = $displaystyle 2sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}$ với điều kiện trên.

c) Giải A < 2 ta được: $displaystyle sqrt{{{{x}^{2}}-2x}}<1Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x<1Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}<2$

$displaystyle Leftrightarrow -sqrt{2}<x-1<sqrt{2}Leftrightarrow 1-sqrt{2}<x<1+sqrt{2}$.

Kết hợp với điều kiện nêu ở câu a), các giá trị phải tìm của x là:

$displaystyle 1-sqrt{2}<x<0$ và $displaystyle 2le x<1+sqrt{2}$.

Bài tập 29:

a) Đặt x = $displaystyle 2+sqrt{3}$. Ta có $displaystyle {{x}^{2}}=7+4sqrt{3}Rightarrow {{x}^{2}}=7+4(x-2)Rightarrow {{x}^{2}}=4x-1$.

Phương trình $displaystyle {{x}^{2}}-4x+1=0$ nhận $displaystyle 2+sqrt{3}$ là một nghiệm.

b) Phương trình $displaystyle {{x}^{2}}-12x+4=0$ nhận $displaystyle 6-4sqrt{2}$ là một nghiệm.

Chú ý: Phương trình $displaystyle {{x}^{2}}-4x+1=0$ còn có nghiệm là $displaystyle 2-sqrt{3}$.

Phương trình $displaystyle {{x}^{2}}-12x+4=0$ còn có nghiệm là $displaystyle 6+4sqrt{2}$.

Bài tập 30^*:

a) A² = $displaystyle 1+frac{1}{{{{a}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}=frac{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}+{{{(a+1)}}^{2}}+{{a}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}$

= $displaystyle frac{{{{a}^{2}}({{a}^{2}}+2a+1+1)+{{{(a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}=frac{{{{a}^{4}}+2{{a}^{2}}(a+1)+{{{(a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}=$

= $displaystyle frac{{{{{({{a}^{2}}+a+1)}}^{2}}}}{{{{a}^{2}}{{{(a+1)}}^{2}}}}={{left[ {frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}} right]}^{2}}$.

Do a > 0 nên A > 0 và A = $displaystyle frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}$.

b) Từ câu a) suy ra: $displaystyle sqrt{{1+frac{1}{{{{a}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(a+1)}}^{2}}}}}}=frac{{{{a}^{2}}+a+1}}{{a(a+1)}}=1+frac{1}{{a(a+1)}}=1+frac{1}{a}-frac{1}{{a+1}}$

Do đó: B = $displaystyle left( {1+frac{1}{1}-frac{1}{2}} right)+left( {1+frac{1}{2}-frac{1}{3}} right)+left( {1+frac{1}{3}-frac{1}{4}} right)+…+left( {1+frac{1}{{99}}-frac{1}{{100}}} right)$

= 99 + $displaystyle left( {frac{1}{1}-frac{1}{2}+frac{1}{2}-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+…+frac{1}{{99}}-frac{1}{{100}}} right)=100-frac{1}{{100}}=99,99$

DẠNG 3: Giải phương trình

Bài tập 31: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là: $displaystyle xge -frac{1}{2}$

$displaystyle sqrt{{5{{x}^{2}}}}=2x+1$

Suy ra $displaystyle 5{{x}^{2}}={{(2x+1)}^{2}}$

$displaystyle Leftrightarrow 5{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+4x+1$

$displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=0$

$displaystyle Leftrightarrow ({{x}^{2}}-4x+4)-5=0$

$displaystyle Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}-{{(sqrt{5})}^{2}}=0$

$displaystyle Leftrightarrow (x-2+sqrt{5})(x-2-sqrt{5})=0$

$displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x-2+sqrt{5}=0x-2-sqrt{5}=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=2-sqrt{5}x=2+sqrt{5}end{array} right.$

Vì x = $displaystyle 2-sqrt{5}$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $displaystyle 2+sqrt{5}$.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: $displaystyle left{ begin{array}{l}2x-3ge 0x-1>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 1,5x>1end{array} right.Leftrightarrow xge 1,5$

Khi đó phương trình được đưa về dạng:

$displaystyle frac{{sqrt{{2x-3}}}}{{sqrt{{x-1}}}}=2$

Suy ra: $displaystyle frac{{2x-3}}{{x-1}}={{2}^{2}}$

Hay      2x – 3 = 4(x – 1)

$displaystyle Leftrightarrow ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2x=1,,,Leftrightarrow x=0,5$ không thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 32: Giải phương trình:

a) Điều kiện xác định của phương trình là $displaystyle xge frac{1}{3}$

Biến đổi phương trình về dạng:

$displaystyle 3x+1={{(3x-1)}^{2}}$

$displaystyle Leftrightarrow 9x(x-1)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=0x=1end{array} right.$

Phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

b) Điều kiện xác định của phương trình là: $displaystyle left{ begin{array}{l}3x-5ge 0x+1ge 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge frac{5}{3}xge -1end{array} right.Leftrightarrow xge frac{5}{3}$

Phương trình được đưa về dạng;

$displaystyle begin{array}{l}2+sqrt{{3x-5}}=x+1Leftrightarrow sqrt{{3x-5}}=x-1Leftrightarrow 3x-5={{x}^{2}}-2x+1Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0end{array}$

$displaystyle Leftrightarrow (x-3)(x-2)=0Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x-3=0x-2=0end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=3x=2end{array} right.$, thỏa mãn điều kiện xác định.

Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3.

c) Điều kiện xác định của phương trình là:

$displaystyle left{ begin{array}{l}5x+7ge 0x+3>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge -frac{7}{5}x>-3end{array} right.Leftrightarrow xge -frac{7}{5}$

hoặc $displaystyle left{ begin{array}{l}5x+7le 0x+3<0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xle -frac{7}{5}x<-3end{array} right.Leftrightarrow x<-3$

Phương tình được đưa về dạng: $displaystyle frac{{5x+7}}{{x+3}}={{4}^{2}}$

Giải phương trình này được $displaystyle x=-frac{{41}}{{11}}$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $displaystyle x=-frac{{41}}{{11}}$.

d) Điều kiện xác định của phương trình là:

$displaystyle left{ begin{array}{l}5x+7ge 0x+3>0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge -frac{7}{5}x>-3end{array} right.Leftrightarrow xge -frac{7}{5}$

Khi đó phương tình đưa về dạng: $displaystyle sqrt{{frac{{5x+7}}{{x+3}}}}=4$.

Theo câu c), ta có $displaystyle x=-frac{{41}}{{11}}$, nhưng không thỏa mãn điều kiện $displaystyle xge -frac{7}{5}$. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1.

$displaystyle {{left( {sqrt{x}-2} right)}^{2}}+{{left( {sqrt{{y-1}}-3} right)}^{2}}=0$;

Đáp số: x = 4; y = 10.

Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c.

$displaystyle begin{array}{l},,,,,,,sqrt{{x-a}}+sqrt{{y-b}}+sqrt{{z-c}}=frac{1}{2}left( {x+y+z} right)Leftrightarrow x+y+z=2left( {sqrt{{x-a}}+sqrt{{y-b}}+sqrt{{z-c}}} right)Leftrightarrow x+y+z-2sqrt{{x-a}}-2sqrt{{y-b}}-2sqrt{{z-c}}=0Leftrightarrow x+y+z-(a+b+c)-2sqrt{{x-a}}-2sqrt{{y-b}}-2sqrt{{z-c}}+3=0Leftrightarrow left( {x-a-2sqrt{{x-a}}+1} right)+left( {y-b-2sqrt{{y-b}}+1} right)+left( {z-c-2sqrt{{z-c}}+1} right)=0Leftrightarrow {{(sqrt{{x-a}}-1)}^{2}}+{{(sqrt{{y-b}}-1)}^{2}}+{{(sqrt{{z-c}}-1)}^{2}}=0end{array}$

Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1.

$displaystyle begin{array}{l}sqrt{{{{{(sqrt{{x-1}}-2)}}^{2}}}}+sqrt{{{{{(sqrt{{x-1}}+3)}}^{2}}}}=5,,,,,,,,,,,left| {sqrt{{x-1}}-2} right|+sqrt{{x-1}}+3=5,,,,,,,,,,,left| {sqrt{{x-1}}-2} right|=2-sqrt{{x-1}},,,,,,,,,,,,,2-sqrt{{x-1}}ge 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,sqrt{{x-1}}le 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,xle 5end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được $displaystyle 1le xle 5$.

Bài tập 36: $displaystyle sqrt{{(x-2)(x-3)}}+sqrt{{x+1}}=sqrt{{x-2}}+sqrt{{(x+1)(x-3)}}$

ĐKXĐ: x ≥ 3.

$displaystyle begin{array}{l},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,sqrt{{(x-2)(x-3)}}+sqrt{{x+1}}=sqrt{{x-2}}+sqrt{{(x+1)(x-3)}},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,sqrt{{(x-2)(x-3)}}-sqrt{{(x+1)(x-3)}}=sqrt{{x-2}}-sqrt{{x+1}}sqrt{{x-3}}(sqrt{{x-2}}-sqrt{{x+1}})-(sqrt{{x-2}}-sqrt{{x+1}})=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(sqrt{{x-3}}-1)(sqrt{{x-2}}-sqrt{{x+1}})=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x=4end{array}$

DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13

* Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: $displaystyle a+bge 2sqrt{{ab}}$

P² = $displaystyle x-5+13-x+2sqrt{{(x-5)(13-x)}}$

P² ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x ⇔ x = 9).

Suy ra max P² = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

* Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:

$displaystyle {{({{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}})}^{2}}le (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})$

Với a₁ = a₂ = 1; b₁ = $displaystyle sqrt{{x-5}}$; b₂ = $displaystyle sqrt{{13-x}}$.

P² = $displaystyle {{(1.sqrt{{x-5}}+1.sqrt{{13-x}})}^{2}}le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}})left[ {{{{(sqrt{{x-5}})}}^{2}}+{{{(sqrt{{13-x}})}}^{2}}} right]$

hay P² ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ⇔ $displaystyle frac{{x-5}}{1}=frac{{13-x}}{1}Leftrightarrow x=9$).

Suy ra max P² = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9).

Bài tập 38:

a) Áp dụng bất đẳng thức $displaystyle sqrt{a}-sqrt{b}le sqrt{{a-b}}$ (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.)

A = $displaystyle sqrt{{x+1}}-sqrt{{x-8}}le sqrt{{(x+1)-(x-8)}}=sqrt{9}=3$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 8)

Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8).

b) Áp dụng bất đẳng thức $displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}ge sqrt{{a+b}}$ (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.)

B = $displaystyle sqrt{{x-3}}+sqrt{{5-x}}ge sqrt{{x-3+5-x}}=sqrt{2}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 3 hoặc x = 5)

Suy ra min B = $displaystyle sqrt{2}$ (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5).

Bài tập 39:

M = $displaystyle frac{{{{x}^{2}}-sqrt{2}}}{{{{x}^{2}}({{x}^{2}}-sqrt{2})+sqrt{3}({{x}^{2}}-sqrt{2})}}=frac{{{{x}^{2}}-sqrt{2}}}{{({{x}^{2}}-sqrt{2})({{x}^{2}}+sqrt{3})}}=frac{1}{{{{x}^{2}}+sqrt{3}}}$ (với $displaystyle xne pm sqrt{{sqrt{2}}}$)

Vì $displaystyle {{x}^{2}}+sqrt{3}ge sqrt{3}$ với mọi x nên $displaystyle frac{1}{{{{x}^{2}}+sqrt{3}}}le frac{1}{{sqrt{3}}}$. Vậy max A = $displaystyle frac{1}{{sqrt{3}}}$ khi x = 0.

DẠNG 5: Chứng minh biểu thức.

Bài tập 40:

a) Có, chẳng hạn: $displaystyle sqrt{{frac{1}{2}}}+sqrt{{frac{1}{2}}}=frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{2}}}=frac{2}{{sqrt{2}}}=sqrt{2}$.

b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà $displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=sqrt{{sqrt{2}}}$.

Bình phương hai vế được $displaystyle a+b+2sqrt{{ab}}=sqrt{2}Rightarrow 2sqrt{{ab}}=sqrt{2}-(a+b)$.

Lại bình phương hai vế ta có:

$displaystyle 4ab=2+{{(a+b)}^{2}}-2sqrt{2}(a+b)Rightarrow 2sqrt{2}(a+b)=2+{{(a+b)}^{2}}-4ab$

Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn.

Bài tập 41: Đặt x – y = a, $displaystyle sqrt{x}+sqrt{y}=b$ (1) thì a, b là các số hữu tỉ.

Xét hai trường hợp:

TH1: Nếu b ≠ 0 thì $displaystyle frac{{x-y}}{{sqrt{x}+sqrt{y}}}=frac{a}{b}$ nên $displaystyle sqrt{x}-sqrt{y}=frac{a}{b}$ là số hữu tỉ. (2)

Từ (1) và (2) ta có: $displaystyle sqrt{x}=frac{1}{2}left( {b+frac{a}{b}} right)$ là số hữu tỉ.

$displaystyle sqrt{y}=frac{1}{2}left( {b-frac{a}{b}} right)$ là số hữu tỉ.

TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên $displaystyle sqrt{x}$, $displaystyle sqrt{y}$ là số hữu tỉ.

Bài tập 42: Xét tổng hai số:

$displaystyle (2a+b-2sqrt{{cd}})+(2c+d-2sqrt{{ab}})=(a+b-2sqrt{{ab}})+(c+d-2sqrt{{cd}})+a+c$

$displaystyle ={{(sqrt{a}-sqrt{b})}^{2}}+{{(sqrt{c}-sqrt{d})}^{2}}+a+c>0$.

Tồn tại một trong hai số trên là số dương.

Bài tập 43: 

a) Ta có: $displaystyle {{(sqrt{{a+b}})}^{2}}=a+b$ (1)

$displaystyle {{(sqrt{a}+sqrt{b})}^{2}}=a+b+2sqrt{{ab}}$  (2)

Vì a > 0, b > 0 nên $displaystyle 2sqrt{{ab}}$ > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra:

$displaystyle {{(sqrt{{a+b}})}^{2}}<{{(sqrt{a}+sqrt{b})}^{2}}$ hay $displaystyle sqrt{{a+b}}<sqrt{a}+sqrt{b}$.

b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có:

$displaystyle sqrt{{2017+2018}}<sqrt{{2017}}+sqrt{{2018}}$

Bài tập 44:

$displaystyle sqrt{{ax}}+sqrt{{by}}le sqrt{{(a+b)(x+y)}}Leftrightarrow ax+by+2sqrt{{abxy}}le ax+ay+bx+by$

⇔ $displaystyle ay+bx-2sqrt{{abxy}}ge 0$

⇔ $displaystyle {{left( {sqrt{{ay}}-sqrt{{bx}}} right)}^{2}}ge 0$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

(Dấu “=” xảy ra ⇔ ay = bx ⇔ $displaystyle frac{a}{x}=frac{b}{y}$).

Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: $displaystyle a+bge 2sqrt{{ab}}$ ; $displaystyle b+cge 2sqrt{{bc}}$ ; $displaystyle a+cge 2sqrt{{ac}}$.

Suy ra $displaystyle (a+b)+(b+c)+(c+a)ge 2(sqrt{{ab}}+sqrt{{bc}}+sqrt{{ac}})$

Do đó $displaystyle a+b+cge sqrt{{ab}}+sqrt{{bc}}+sqrt{{ca}}$.

Bài tập 46: $displaystyle sqrt{{n+a}}+sqrt{{n-a}}<2sqrt{n}$

$displaystyle Leftrightarrow n+a+n-a+2sqrt{{{{n}^{2}}-{{a}^{2}}}}<4nLeftrightarrow sqrt{{{{n}^{2}}-{{a}^{2}}}}<n$

$displaystyle Leftrightarrow {{n}^{2}}-{{a}^{2}}<{{n}^{2}}Leftrightarrow {{a}^{2}}>0$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được

$displaystyle begin{array}{l}sqrt{{101}}+sqrt{{99}}<2sqrt{{100}}=20sqrt{{101}}-sqrt{{99}}=frac{{(sqrt{{101}}-sqrt{{99}})(sqrt{{101}}+sqrt{{99}})}}{{sqrt{{101}}+sqrt{{99}}}}=frac{2}{{sqrt{{101}}-sqrt{{99}}}}>frac{2}{{20}}=0,1end{array}$

Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B ∈ $displaystyle mathbb{Z}$ để có đẳng thức:

$displaystyle 99999+11111sqrt{3}={{(A+Bsqrt{3})}^{2}}$

Suy ra: $displaystyle 99999+11111sqrt{3}={{A}^{2}}+3{{B}^{2}}+2ABsqrt{3}$

Do đó: $displaystyle sqrt{3}=frac{{-99999+{{A}^{2}}+3{{B}^{2}}}}{{11111-2AB}}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 48:

Ta có: A + B = $displaystyle asqrt{a}+bsqrt{b}+2sqrt{{ab}}$

$displaystyle =(sqrt{a}+sqrt{b})left[ {{{{(sqrt{a}+sqrt{b})}}^{2}}-3sqrt{{ab}}} right]+2sqrt{{ab}}$

A . B = $displaystyle sqrt{{ab}}(sqrt{{ab}}+1)+sqrt{{ab}}(sqrt{a}+sqrt{b})left[ {{{{(sqrt{a}+sqrt{b})}}^{2}}-3sqrt{{ab}}} right]$

Đặt $displaystyle sqrt{a}+sqrt{b}=p$, $displaystyle sqrt{{ab}}=q$ (p, q ∈ $displaystyle mathbb{Q}$) thì:

A + B = p(p² – 3q) + 2q

A . B = q(q + 1) + pq(p² – 3q)

là các số hữu tỉ.

Bài tập 49: (Hs tự chứng minh).

Bài tập 50:

$displaystyle 2left( {sqrt{{n+1}}-sqrt{n}} right)=frac{{2left( {sqrt{{n+1}}-sqrt{n}} right)left( {sqrt{{n+1}}+sqrt{n}} right)}}{{sqrt{{n+1}}+sqrt{n}}}=frac{2}{{sqrt{{n+1}}+sqrt{n}}}<frac{2}{{2sqrt{n}}}=frac{1}{{sqrt{n}}}$          (1)

$displaystyle 2left( {sqrt{n}-sqrt{{n-1}}} right)=frac{{2left( {sqrt{n}-sqrt{{n-1}}} right)left( {sqrt{n}+sqrt{{n-1}}} right)}}{{sqrt{n}+sqrt{{n-1}}}}=frac{2}{{sqrt{n}+sqrt{{n-1}}}}>frac{2}{{2sqrt{n}}}=frac{1}{{sqrt{n}}}$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

$displaystyle S=1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+…+frac{1}{{sqrt{{100}}}}$

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:

$displaystyle S>1+2left[ {left( {sqrt{3}-sqrt{2}} right)+left( {sqrt{4}-sqrt{3}} right)+left( {sqrt{5}-sqrt{4}} right)+…+left( {sqrt{{101}}-sqrt{{100}}} right)} right]$

$displaystyle S>1+2left[ {sqrt{{101}}-sqrt{2}} right]>1+2(10-1,5)=18$.

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

$displaystyle S<1+2left[ {left( {sqrt{2}-sqrt{1}} right)+left( {sqrt{3}-sqrt{2}} right)+left( {sqrt{4}-sqrt{3}} right)+…+left( {sqrt{{100}}-sqrt{{99}}} right)} right]$

$displaystyle S<1+2left[ {sqrt{{100}}-sqrt{1}} right]=1+2(10-1)=19$.

Vậy 18 < S < 19.

Bài tập 51:

$displaystyle frac{1}{{2sqrt{{n+1}}}}=frac{1}{{sqrt{{n+1}}+sqrt{{n+1}}}}<frac{1}{{sqrt{{n+1}}+sqrt{n}}}=grave{ }frac{{sqrt{{n+1}}-sqrt{n}}}{{(sqrt{{n+1}}+sqrt{n})(sqrt{{n+1}}-sqrt{n})}}=sqrt{{n+1}}-sqrt{n}$

Suy ra $displaystyle frac{1}{{sqrt{{n+1}}}}<2left( {sqrt{{n+1}}-sqrt{n}} right)$

Cho n lần lượt lấy các giá trị từ 0 đến 2499 ta được:

$displaystyle 1<2$

$displaystyle frac{1}{{sqrt{2}}}<2(sqrt{2}-1)$

$displaystyle frac{1}{{sqrt{3}}}<2(sqrt{3}-sqrt{2})$

………………

$displaystyle frac{1}{{sqrt{{2500}}}}<2(sqrt{{2500}}-sqrt{{2499}})$

Vậy $displaystyle 1+frac{1}{{sqrt{2}}}+frac{1}{{sqrt{3}}}+frac{1}{{sqrt{{2500}}}}<2left( {1+sqrt{2}-1+sqrt{3}-sqrt{2}+…+sqrt{{2500}}-sqrt{{2499}}} right)$

= $displaystyle 2.sqrt{{2500}}=100$.

Bài tập 52:

Ta có: $displaystyle 1+{{x}^{2}}=xy+yz+xz+{{x}^{2}}=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)$

Tương tự: $displaystyle 1+{{y}^{2}}=(y+x)(y+z)$; $displaystyle 1+{{z}^{2}}=(z+x)(z+y)$.

Vậy S = $displaystyle xsqrt{{{{{(y+z)}}^{2}}}}+ysqrt{{{{{(z+x)}}^{2}}}}+zsqrt{{{{{(x+y)}}^{2}}}}$

= 2(xy + yz + zx) = 2.1 = 2.

Bài tập 53: Đặt a – b = x, b – c = y, c – a = z, ta có:

$displaystyle frac{1}{{{{{(a-b)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(b-c)}}^{2}}}}+frac{1}{{{{{(c-a)}}^{2}}}}=frac{1}{{{{x}^{2}}}}+frac{1}{{{{y}^{2}}}}+frac{1}{{{{z}^{2}}}}={{left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}} right)}^{2}}-2left( {frac{1}{{xy}}+frac{1}{{yz}}+frac{1}{{xz}}} right)$

= $displaystyle {{left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}} right)}^{2}}-frac{{2(x+y+z)}}{{xyz}}={{left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}} right)}^{2}}$

(vì x + y + z = a – b + b – c + c – a = 0).

Vậy A = $displaystyle sqrt{{{{{left( {frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}} right)}}^{2}}}}=left| {frac{1}{x}+frac{1}{y}+frac{1}{z}} right|=left| {frac{1}{{a-b}}+frac{1}{{b-c}}+frac{1}{{c-a}}} right|$ là số hữu tỉ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

Bài tập 54:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x, y, z ta được:

Suy ra:                  $displaystyle 2(x+y+z)ge 2left( {sqrt{{xy}}+sqrt{{yz}}+sqrt{{zx}}} right)$

hay              $displaystyle x+y+zge sqrt{{xy}}+sqrt{{yz}}+sqrt{{zx}}$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x= y = z).

Bài tập 55: ĐKXĐ: –3 ≤ x ≤ 5

$displaystyle {{A}^{2}}=x+3+5-x+2sqrt{{(x+3)(5-x)}}$

$displaystyle {{A}^{2}}le 8+(x+3+5-x)$ (bất đẳng thức Cô-si)

$displaystyle {{A}^{2}}le 16$ (dấu “=” xảy ra ⇔ x + 3 = 5 – x Û x = 1)

Vậy |A| ≤ 4 mà A > 0 nên A ≤  4 (dấu “=” xảy ra Û x = 1).

Bài tập 56:

B = $displaystyle frac{{{{x}^{3}}}}{{y+1}}+frac{{{{y}^{3}}}}{{x+1}}=frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+({{x}^{3}}+{{y}^{3}})}}{{xy+x+y+1}}$

= $displaystyle frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy)}}{{x+y+2}}=frac{{({{x}^{4}}+{{y}^{4}})+(x+y)({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1)}}{{x+y+2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x², y², x⁴, y⁴ ta được:

$displaystyle Bge frac{{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+(x+y)(2xy-1)}}{{x+y+2}}=frac{{2+(x+y)}}{{x+y+2}}=1$

(Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1)

Bài tập 57:

$displaystyle frac{1}{{x+1}}=2-frac{1}{{y+1}}-frac{1}{{z-1}}=left( {1-frac{1}{{y+1}}} right)+left( {1-frac{1}{{z+1}}} right)$

= $displaystyle frac{y}{{y+1}}+frac{z}{{z+1}}ge 2sqrt{{frac{{yz}}{{(y+1)(z+1)}}}}$ (bất đẳng thức Cô-si)

Tương tự, $displaystyle frac{1}{{y+1}}ge 2sqrt{{frac{{xz}}{{(x+1)(z+1)}}}}$ ; $displaystyle frac{1}{{z+1}}ge 2sqrt{{frac{{xy}}{{(x+1)(y+1)}}}}$

Suy ra      $displaystyle frac{1}{{x+1}}.frac{1}{{y+1}}.frac{1}{{z+1}}ge frac{{8xyz}}{{(x+1)(y+1)(z+1)}}$

Do đó $displaystyle xyzle frac{1}{8}$ (dấu “=” xảy ra Û $displaystyle frac{x}{{x+1}}=frac{y}{{y+1}}=frac{z}{{z+1}}Leftrightarrow x=y=z$).

Bài tập 58:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si đối với các số dương x⁴, y⁴, z⁴ và x², y², z² ta được:

$displaystyle {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}=frac{{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}}{2}+frac{{{{y}^{4}}+{{z}^{4}}}}{2}+frac{{{{x}^{4}}+{{z}^{4}}}}{2}ge {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}$

= $displaystyle frac{{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}+frac{{{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}+frac{{{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{z}^{2}}}}{2}ge {{y}^{2}}xz+{{z}^{2}}xy+{{x}^{2}}zy$

= xyz(x + y + z) = 3xyz.

Vậy x⁴ + y⁴ + z⁴ ≥ 3xyz (dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 1).

Do đó x = 1; y = 1; z = 1.

Bài tập 59:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ hai số (1; 2) và $displaystyle left( {sqrt{x};sqrt{y}} right)$ ta được:

$displaystyle {{left( {1.sqrt{x}+2.sqrt{y}} right)}^{2}}le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}})(x+y)$

$displaystyle {{10}^{2}}le 5(x+y)$

x + y ≥ 20

(Dấu “=” xảy ra $displaystyle Leftrightarrow frac{{sqrt{x}}}{1}=frac{{sqrt{y}}}{2}Leftrightarrow x=4;y=16$).

Bài tập 60:

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ ba số (1; 1; 1) và $displaystyle left( {sqrt{{x+y}};sqrt{{y+z}};sqrt{{z+x}}} right)$ ta được:

$displaystyle {{A}^{2}}={{left( {1.sqrt{{x+y}}+1.sqrt{{y+z}}+1.sqrt{{z+x}}} right)}^{2}}$

$displaystyle le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}})(x+y+y+z+z+x)$

$displaystyle {{A}^{2}}le 6(x+y+z)=6$

$displaystyle left| A right|le sqrt{6}$

Vì A > 0 nên $displaystyle Ale sqrt{6}$ (Dấu “=” xảy ra Û x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z = $displaystyle frac{1}{3}$).