Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi trung học cơ sở môn Toán lớp 8 phòng giáo dục và đào tạo huyện Ý Yên, tỉnh Nam Định năm 2015-2016.
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (3 điểm)
1) Chứng minh : $ displaystyle (x+y)({{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}})={{x}^{4}}-{{y}^{4}}$
2) Phân tích đa thức thành nhân tử : $ x(x+2)({{x}^{2}}+2x+2)+1$.
3) Tìm a, b, c biết : $ displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=ab+bc+ca$ và $ {{a}^{8}}+{{b}^{8}}+{{c}^{8}}=3$.
Bài 2. (4 điểm) Cho biểu thức :
$ displaystyle text{P}=frac{2}{x}-left( frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy}+frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}{xy}-frac{{{y}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} right).frac{x+y}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}$ với x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ -y.
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tính giá trị của biểu thức P biết x, y thỏa mãn đẳng thức:
$ displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10=2(x-3y)$
Bài 3. (4 điểm)
1) Giải phương trình: $ (6x+8)(6x+6){{(6x+7)}^{2}}=72$.
2) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: $ displaystyle {{x}^{2}}+x+3={{y}^{2}}$ .
Bài 4. (2 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn $ displaystyle 1ge a,b,cge 0$. Chứng minh rằng :
a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1.
Bài 5. (5,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho $ displaystyle widehat{IOM}={{90}^{0}}$ (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi N là giao điểm của AM và CD, K là giao điểm của OM và BN.
1) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
2) Chứng minh $ widehat{BKM}=widehat{BCO}$.
3) Chứng minh $ frac{text{1}}{text{C}{{text{D}}^{text{2}}}}text{ = }frac{text{1}}{text{A}{{text{M}}^{text{2}}}}text{ + }frac{text{1}}{text{A}{{text{N}}^{text{2}}}}text{.}$
Bài 6. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC), trọng tâm G. Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC thứ tự ở D và E. Tính giá trị biểu thức $ displaystyle frac{text{AB}}{text{AD}}text{ + }frac{text{AC}}{text{AE}}$.